Использование Первого Признака Производной для Определения Относительных (Локальных) Экстремумов
Введено| English | Значение |
|---|---|
| First Derivative Test/fɜːst dɪˈrɪvətɪv test/ | признак монотонности по первой производной |
| relative (local) maximum/ˈrelətɪv ˈmæksɪməm/ | локальный максимум |
| relative (local) minimum/ˈrelətɪv ˈmɪnɪməm/ | локальный минимум |
Classify a critical point by how $f'$ turns
- A critical point is a candidate extremum — now we decide which kind it is.
- The First Derivative Test 一阶导数判别法 reads the sign change of $f'$ across the point.
- Uphill-then-downhill makes a peak; downhill-then-uphill makes a valley.
- It reuses your sign chart from the last lesson — no new computation.
Positive → negative means a max
- If $f'$ changes from positive to negative at a critical point $c$, then $f$ has a relative (local) maximum 局部最大值 there.
- The function was climbing, levels off, then falls — the top of a hill.
- Read it straight off the sign chart: a $+$ to the left of $c$, a $-$ to the right.
- The maximum value is $f(c)$; the location is $x=c$.
A graph of f′: f has a local maximum where f′ changes from + to − (x = 0) and a local minimum where it changes from − to + (x = 2)
Максимум, затем минимум
y = ax³ + cx
Левый бугор — локальный максимум (производная $f'$ меняет знак с $+$ на $-$), а правая впадина — локальный минимум (от $-$ до $+$).
Если производная $f'$ меняет знак с положительного на отрицательный в точке $c$, то в точке $f$ есть...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Рост, затем спуск = вершина холма = локальный максимум.
Negative → positive means a min
- If $f'$ changes from negative to positive at $c$, then $f$ has a relative (local) minimum 局部最小值 there.
- Falling, levels off, then climbing — the bottom of a valley.
- Sign chart: a $-$ left of $c$, a $+$ right of $c$.
- If $f'$ does not change sign at $c$, there is no extremum there (a flat spot).
Если производная $f'$ меняет знак с отрицательного на положительный в точке $c$, то в точке $f$ есть локальный ____.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Спуск, затем подъем = дно долины = локальный минимум.
The routine
- Find critical points, build the sign chart of $f'$, and read each crossing.
- $+\to-$: local max. $-\to+$: local min. No change: neither.
- Works even where $f'$ is undefined (a corner), as long as the sign flips.
- This is the AP's most-used tool for classifying extrema.
Если производная $f'$ имеет одинаковый знак по обе стороны от критической точки, то экстремума там нет.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Отсутствие изменения знака (как у производной $y=x^3$ в точке $0$) означает отсутствие максимума или минимума.
Для функции $f(x)=x^3-3x$ критическая точка $x=1$ является...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Производная $f'$ меняет знак с $-\to+$ на $x=1$ → локальный минимум.
Для функции $f(x)=x^3-3x$ локальный максимум находится в точке $x=-1$. Найдите значение максимума $f(-1)$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$.
Выберите все верные утверждения о первом признаке производной.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Важно именно изменение знака, а не значение производной в точке $c$.
It's the change in sign that matters, not the value of $f'$ at $c$ (which is $0$ or undefined there). If $f'$ keeps the same sign on both sides — like $y=x^3$ at $0$ (positive on both sides) — there is no extremum, even though it's a critical point.
Classify the critical points of $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$).
- At $x=-1$: $f'$ goes $+\to-$ (test $-2$ gives $+$, test $0$ gives $-$) → local max.
- At $x=1$: $f'$ goes $-\to+$ (test $0$ gives $-$, test $2$ gives $+$) → local min.
- Values: local max $f(-1)=2$, local min $f(1)=-2$.
The First Derivative Test classifies a critical point by the sign change of $f'$: $+\to-$ is a local maximum, $-\to+$ is a local minimum, and no sign change means no extremum. Just read the crossings off your $f'$ sign chart.