Использование правила Лопиталя для определения пределов неопределенностей
Введено| English | Значение |
|---|---|
| L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/ | правило Лопиталя |
| indeterminate forms/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːmz/ | неопределённые формы |
A derivative trick for stubborn limits
- Back in Unit 1, $\tfrac00$ meant "simplify by algebra." Sometimes no algebra helps.
- L'Hospital's Rule 洛必达法则 uses derivatives to crack those stubborn limits.
- It applies to the indeterminate forms $\tfrac00$ and $\tfrac{\infty}{\infty}$.
- The idea: replace the ratio of functions by the ratio of their derivatives.
Check the form first
- L'Hospital only applies to a genuine indeterminate form: $\dfrac00$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$.
- Substitute first to confirm you have one — if direct substitution already gives a number, you are done, and the rule does not apply.
- Using it on a non-indeterminate limit (like $\tfrac{5}{2}$) gives a wrong answer.
- So always verify the form before reaching for the rule.
When f(a) = g(a) = 0 the ratio f/g near a matches the ratio of their slopes
Правило Лопиталя применимо к каким неопределенным формам?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Только $\tfrac00$ и $\tfrac\infty\infty$. $\tfrac52$ уже определенная; $\tfrac30$ — асимптота, а не неопределенность.
Перед применением правила подтвердите, что предел имеет форму ____, подставив значения.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Только $\tfrac00$ или $\tfrac\infty\infty$ подходят.
Differentiate top and bottom separately
- The rule: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$(when the form is indeterminate).
- Warning: this is not the quotient rule — you differentiate $f$ and $g$ independently, no minus, no $g^2$.
- Then re-evaluate the new, simpler limit.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$ — the famous limit, in one line.
Отношение 0/0 с действительным пределом
y = sin(x)/x (вблизи 0)
$\tfrac{\sin x}{x}$ выглядит как $\tfrac00$ при $0$, но кривая плавно стремится к $1$ — правило Лопиталя быстро находит это значение.
Правило Лопиталя использует правило дифференцирования дроби $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ для числителя и знаменателя.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Оно дифференцирует $f$ и $g$ отдельно: $\tfrac{f'}{g'}$, а не правило дифференцирования дроби.
Вычислите $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$, используя правило.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\tfrac00\Rightarrow\lim\tfrac{e^x}{1}=e^0=1$.
По правилу Лопиталя, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=$
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\cos 0=1$.
Repeat if it's still indeterminate
- If the new ratio $\tfrac{f'}{g'}$ is also $\tfrac00$ or $\tfrac\infty\infty$, apply the rule again.
- Keep differentiating top and bottom until you get a determinate value.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\tfrac12$ (two applications).
- Each round must still be indeterminate to justify another application.
Применив правило дважды, получаем $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=$ ? (десятичное число)
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\to\tfrac{\sin x}{2x}\to\tfrac{\cos x}{2}=\tfrac12$.
$\dfrac{f'}{g'}$ is not the quotient rule. L'Hospital differentiates numerator and denominator separately: $\frac{d}{dx}[f]$ over $\frac{d}{dx}[g]$ — no $\frac{f'g-fg'}{g^2}$. And only use it on $\tfrac00$ or $\tfrac{\infty}{\infty}$; applying it when the limit is already determinate produces nonsense.
Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$.
- Substitute: $\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$ — indeterminate, so L'Hospital applies.
- Differentiate top and bottom: $\dfrac{e^x}{1}$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$.
L'Hospital's Rule: for the indeterminate forms $\tfrac00$ or $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ — differentiate top and bottom separately (not the quotient rule) and re-evaluate. Confirm the form first, and repeat the rule while the result stays indeterminate.