Используя теорему о среднем значении
Введено| English | Значение |
|---|---|
| Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | теорема о среднем значении |
Somewhere, the instant matches the average
- Drive $120$ km in $2$ hours: your average speed is $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
- At some instant your speedometer must have read exactly $60$ — you can't average $60$ without hitting it.
- That intuitive fact is the Mean Value Theorem 中值定理 (MVT).
- It links the average rate of change over an interval to an instantaneous rate somewhere inside.
The hypotheses come first
- MVT needs $f$ continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$.
- If both hold, there is at least one $c$ in $(a,b)$ with
-
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- The left side is an instantaneous rate; the right side is the average rate over $[a,b]$.
The Mean Value Theorem: some tangent is parallel to the secant over the interval
Теорема о среднем значении для $[a,b]$ требует каких условий?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Непрерывна на замкнутом интервале и дифференцируема на открытом. ($f(a)=f(b)$ — дополнительное условие Rolle.)
Теорема о среднем значении гарантирует наличие точки $c$, где $f'(c)$ равно...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, средней скорости.
A tangent parallel to the secant
- The right-hand side is the slope of the secant line joining the endpoints.
- So MVT guarantees a point where the tangent line is parallel to that secant.
- Geometrically: somewhere the curve's slope equals the overall average slope.
- Like the IVT, it is an existence theorem — it promises $c$ exists, not its value.
Касательная параллельна секущей
y = x²
Негде внутри интервала наклон касательной совпадает со средним (секущей) наклоном — эта точка является гарантированным $c$ теоремы о среднем значении.
Геометрически теорема о среднем значении гарантирует наличие касательной, параллельной ____ прямой.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Касательная в точке $c$ параллельна секущей, соединяющей концы отрезка.
Finding the guaranteed $c$
- To find $c$: set $f'(c)$ equal to the average rate and solve for $c$ in $(a,b)$.
- First check the hypotheses (continuous + differentiable) — skip that and the theorem doesn't apply.
- Discard any solution outside the open interval $(a,b)$.
- The MVT is the engine behind many later results (like "if $f'=0$ everywhere, $f$ is constant").
Для функции $f(x)=x^2$ на отрезке $[2,6]$ найдите точку $c$, гарантированную теоремой Лагранжа.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Средний $=\frac{36-4}{4}=8$; $2c=8\Rightarrow c=4\in(2,6)$.
Если у функции $f$ есть «угол» внутри $(a,b)$, теорема о среднем значении все равно гарантированно применима.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
«Угол» нарушает дифференцируемость, поэтому условия не выполняются, и теорема о среднем значении может быть неприменима.
Как и теорема о промежуточных значениях (IVT), теорема о среднем значении — это какой вид теоремы?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Она гарантирует существование такой точки $c$ (хотя здесь ее часто можно найти).
Both hypotheses are required. If $f$ has a corner (not differentiable) or a break (not continuous) on the interval, the MVT can fail — there may be no such $c$. Always confirm $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$ before applying it.
For $f(x)=x^2$ on $[1,3]$, find the $c$ guaranteed by the MVT.
- Average rate: $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$.
- $f'(x)=2x$, so set $2c=4\Rightarrow c=2$.
- $c=2$ lies in $(1,3)$ ✓ — there the tangent slope equals the average slope $4$.
The Mean Value Theorem: if $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$, some $c\in(a,b)$ has $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — an instantaneous rate equal to the average rate, i.e. a tangent parallel to the secant. Check the hypotheses, then solve $f'(c)=$ average for $c$.