Правило частного
Введено| English | Значение |
|---|---|
| Quotient Rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | правило частного |
| rational expression/ˈræʃənl ekˈspreʃn/ | рациональное выражение |
Dividing functions needs care
- Just as products need the Product Rule, quotients need the Quotient Rule 商法则.
- You can't differentiate top and bottom separately and divide — that's wrong.
- The rule handles a rational expression 分式表达式 $\dfrac{f}{g}$ of two functions.
- Its numerator has a subtraction, so order and signs matter a lot.
The rule
-
$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}$$
- Top: "derivative of the top times the bottom, minus the top times derivative of the bottom."
- Bottom: the original denominator, squared.
- A memory hook: "low d-high minus high d-low, over low-squared."
Числитель Правила частного для $\dfrac{f}{g}$ это...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Числитель — $f'g-fg'$, деленный на $g^2$.
В Правиле частного знаменатель ответа равен $g$ ____ (до какой степени?).
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Знаменатель равен $g^2$.
Выберите все верные утверждения о Правиле частного.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$g^2\ge0$ всегда положительно, поэтому он никогда не меняет знак.
Order is everything
- The numerator is $f'g - fg'$, not $fg' - f'g$ — swapping them flips every sign.
- Always write the $f'g$ term first; that fixes the order and prevents sign slips.
- The denominator $g^2$ is always positive, so it never changes the sign of the answer.
- Keep the pieces labeled: $f,f',g,g'$ before you assemble.
Рациональная кривая для дифференцирования
y = a / (x − b)
Для частного вида $\dfrac{x^2}{x+1}$ наклон вычисляется по Правилу частного — обратите внимание на вертикальную асимптоту, где знаменатель равен нулю.
Запись числителя как $fg' - f'g$ (в обратном порядке) дает тот же результат.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Обратный порядок меняет знак всего числителя — ошибка знака.
Найдите производную от $y=\dfrac{x}{x+1}$.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\frac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
Sometimes a product is easier
- A quotient $\dfrac{f}{g}$ can be rewritten as a product $f\cdot g^{-1}$ and done with the Product + Power rules.
- For simple denominators this can be quicker: $\dfrac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$.
- But for genuine two-function quotients like $\dfrac{\sin x}{x}$, the Quotient Rule is the clean path.
- Choose whichever avoids the messier algebra.
Частное $\dfrac{x}{x^2}$ быстрее всего дифференцируется путем...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\frac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$ — проще, чем правило частного в данном случае.
The Quotient Rule numerator is $f'g - fg'$ — the order and the minus sign are the whole difficulty. Writing $fg' - f'g$ (reversed) negates your answer. And do not forget to square the denominator. Both mistakes are extremely common under time pressure.
Differentiate $y=\dfrac{x^2}{x+1}$.
- $f=x^2\Rightarrow f'=2x$; $\quad g=x+1\Rightarrow g'=1$.
- $y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{2x(x+1)-x^2(1)}{(x+1)^2}$.
- $=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.
The Quotient Rule: $\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$ — "low d-high minus high d-low, over low-squared." Keep the numerator's order ($f'g$ first) and square the denominator. For simple cases, rewriting as a product $f g^{-1}$ can be easier.