Нахождение производных тангенса, котангенса, секанса и косеканса
Введено| English | Значение |
|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | тригонометрический |
The other four trig functions
- We know $\sin'=\cos$ and $\cos'=-\sin$. The other four trig functions are all quotients of these.
- So the Quotient Rule derives their derivatives — no new magic, just careful algebra.
- $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\dfrac1{\cos x}$, $\csc x=\dfrac1{\sin x}$.
- Learn the four results, but know they come from the Quotient Rule.
Эти четыре производные получаются с помощью...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Каждое из $\tan,\cot,\sec,\csc$ является частным вида $\sin$/$\cos$.
Deriving $\tan x$
- $\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{\sin x}{\cos x}\right]$.
- Quotient Rule: $\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}$.
- Since $\cos^2 x+\sin^2 x=1$: $=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$.
- So $\boxed{\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x}$ and, similarly, $\dfrac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$.
The quotient rule for f = u/v: low·dHigh − high·dLow all over low²
Синусоида, отношение которой образует тангенс
$\tan x=\sin x/\cos x$; ее производная $\sec^2 x$ всегда положительна — тангенс возрастает везде, где определен.
Чему равно $\dfrac{d}{dx}[\tan x]$?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
По правилу частного для функции $\sin/\cos$ получаем: $\sec^2 x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cot x]=$ ____ $\csc^2 x$.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Это $-\csc^2 x$.
The secant and cosecant pair
- $\dfrac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$.
- Pattern: the "co-" functions ($\cos,\cot,\csc$) all carry a minus sign in their derivative.
- Each of these four also follows from the Quotient Rule applied to a $\tfrac1{\cos}$ or $\tfrac1{\sin}$.
Чему равно $\dfrac{d}{dx}[\sec x]$?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
Производные от $\cot x$ и $\csc x$ содержат минус.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$-\csc^2 x$ и $-\csc x\cot x$ — «ко-» функции имеют минус.
Using them with other rules
- These trigonometric derivatives combine with the product and quotient rules like any others.
- $\dfrac{d}{dx}[x\tan x]=\tan x+x\sec^2 x$ (Product Rule).
- $\dfrac{d}{dx}[3\sec x-\cot x]=3\sec x\tan x+\csc^2 x$.
- Keep the four boxed results handy; they turn up throughout the rest of the course.
Выберите все правильные производные.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Последний вариант неверен: правильно $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, а не $\sec^2 x$.
Watch the minus signs on the "co-" functions: $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$ and $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$ both carry a minus, matching $\cos'=-\sin$. Mixing up $\sec^2 x$ (from $\tan$) with $\csc^2 x$ (from $\cot$) is another frequent slip — pair each derivative with its source.
Differentiate $y=x^2\sec x$.
- Product Rule with $f=x^2$, $g=\sec x$: $f'=2x$, $g'=\sec x\tan x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\sec x+x^2\sec x\tan x$.
- Factor: $y'=x\sec x\,(2+x\tan x)$.
The four extra trigonometric derivatives all follow from the Quotient Rule: $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$, $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$, $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$. The "co-" functions carry a minus. Combine them freely with the product and quotient rules.