Определение производной функции и использование обозначений производной
Введено| English | Значение |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | ⟦производная⟧ |
The derivative: instantaneous rate, packaged
- The instantaneous rate of change is so useful it gets its own name: the derivative 导数.
- It turns "slope of the tangent at each $x$" into a brand-new function, $f'(x)$.
- Feed it an $x$, and it returns the slope of $f$ right there.
- This lesson makes the definition precise and shows the notations you'll use everywhere.
Производная — это наклон касательной
y = x²
Перетащите точку вдоль кривой — число, которое показывает наклон касательной, точно равно $f'(x)$ при данном значении аргумента.
The limit definition
- The derivative of $f$ is
-
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
- Inside is a difference quotient — the secant slope over an interval of width $h$.
- Taking $h\to0$ shrinks the interval to nothing, turning the secant slope into the tangent slope.
Secant slopes approach the tangent slope: the derivative is the limit of average rates
Secant slopes approach the tangent slope as h shrinks to 0
Какое выражение представляет определение предела для $f'(x)$?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Производная — это предел разностного отношения при $h\to0$.
The "at a point" version
- To find the slope at one specific input $a$, use the alternate form:
-
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
- Here $x$ slides toward $a$ instead of a step $h$ shrinking to $0$ — same idea, different bookkeeping.
- Both definitions are just "secant slope, in the limit," so they always agree.
Вы можете вычислить $f'(x)$, подставив $h=0$ непосредственно в $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Это дает $\tfrac00$; после упрощения необходимо взять предел.
Альтернативная форма $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ лучше всего описывается как...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Это тот же самый наклон касательной в точке $a$, но выраженный через $x\to a$ вместо $h\to0$.
Reading the notations
- The same derivative wears several outfits — learn to recognize all of them:
- Lagrange: $f'(x)$ (read "$f$ prime of $x$").
- Leibniz: $\dfrac{dy}{dx}$ or $\dfrac{d}{dx}[f(x)]$ — emphasizes "rate of $y$ with respect to $x$."
- All mean the instantaneous rate of change, i.e. the slope of the tangent line at $x$.
Обозначение Лейбница $\dfrac{dy}{dx}$ означает то же самое, что и $f'(x)$: ____ касательной линии.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Оба обозначения означают мгновенную скорость изменения = наклон касательной.
Выберите все обозначения, которые означают производную от $y=f(x)$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Первые три являются производной; $f(x)^{-1}$ — это обратная величина/обратная функция, а не производная.
You cannot just plug $h=0$ into $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ — that gives $\tfrac00$. The derivative is the limit as $h\to0$, which you evaluate by simplifying the difference quotient first (cancel the $h$), then letting $h\to0$. Skipping the limit is the classic mistake.
Из определения следует, что $f(x)=x^2$ дает $f'(x)=2x$. Вычислите $f'(3)$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$f'(3)=2\cdot3=6$.
Use the definition to find $f'(x)$ for $f(x)=x^2$.
- $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$.
- $=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h$ (for $h\neq0$).
- $\displaystyle\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$, so $f'(x)=2x$.
The derivative $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (or the point form $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$) is the limit of a difference quotient — the slope of the tangent line, i.e. the instantaneous rate of change. Write it as $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$, or $\frac{d}{dx}[f(x)]$.