Определение среднего и мгновенного скоростей изменения в точке
Введено| English | Значение |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | ⟦средняя⟧ скорость изменения |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | ⟦мгновенная⟧ скорость изменения |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | разностное отношение |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | ⟦секущая⟧ прямая |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | ⟦касательная⟧ прямая |
От «на интервале» к «в момент времени»
- В Разделе 1 была заложена идея предела. Теперь мы используем его для измерения изменения.
- На интервале средняя скорость изменения равна полному изменению, делённому на ширину интервала.
- В один конкретный момент мгновенная скорость изменения — это то, что показывает спидометр.
- Мостик между ними — это предел, и именно этот мостик является главной темой Раздела 2.
Средняя скорость = наклон секущей
- Средняя скорость изменения $f$ от $x=a$ до $x=b$ — это разностное отношение:
-
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- Геометрически это наклон секущей линии, соединяющей точки $\big(a,f(a)\big)$ и $\big(b,f(b)\big)$.
- Это среднее значение: оно усредняет всё, что произошло между точками $a$ и $b$.
Найдите среднюю скорость изменения функции $f(x)=x^2$ на интервале $[1,3]$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$.
Средняя скорость изменения на интервале равна наклону...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Средняя скорость = подъем, деленный на бег, между двумя конечными точками = наклон секущей.
Сужаем интервал
- Чтобы получить скорость в точке $x=a$, сдвиньте точку $b$ ближе к $a$ и наблюдайте за наклоном секущей.
- По мере сужения интервала секущая поворачивается в сторону касательной в точке $a$.
- Предельный наклон — это мгновенная скорость изменения в точке $a$.
- В сам момент времени время не проходит — именно предел делает понятие «скорости в точке» осмысленным.
Сдвиньте секущую в касательную
y = x²
Перемещайте точку вдоль $y=x^2$ — наклон касательной, который вы определяете, является мгновенной скоростью, пределом наклонов секущих.
Мгновенная скорость изменения в точке равна наклону ____ линии в этой точке.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Это предел наклонов секущих по мере уменьшения интервала — наклон касательной.
Чтение скорости в контексте
- Знак указывает направление: положительная скорость → возрастание, отрицательная → убывание.
- Величина указывает скорость: больший модуль означает более быстрое изменение.
- Единицы важны: для положения в метрах во времени в секундах скорость выражается в $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — это скорость движения (velocity).
- Таким образом, средняя скорость = наклон секущей (на интервале); мгновенная скорость = наклон касательной (в точке).
Если средняя скорость изменения $f$ на отрезке $[0,4]$ равна $0$, то $f$ должно быть постоянным на $[0,4]$.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Это означает лишь $f(0)=f(4)$; $f$ может сначала возрастать, затем убывать (например, уйти и вернуться).
Для $f(x)=x^2$ средние скорости на $[3,3.1]$ и $[3,3.01]$ равны $6.1$ и $6.01$. Оцените мгновенную скорость в момент $x=3$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Средние значения стремятся к $6$.
Функция положения имеет мгновенную скорость $-5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ в момент времени $t$. Выберите все верные утверждения.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Отрицательная скорость = движение в отрицательном направлении (поэтому положение уменьшается); её модуль — это скорость; и она является наклоном касательной.
Средняя и мгновенная скорости не являются взаимозаменяемыми. Средняя скорость на $[a,b]$ может быть равна нулю, в то время как мгновенная скорость велика в каждой внутренней точке (представьте поход туда и обратно). Только в пределе сужающегося интервала средняя скорость становится мгновенной скоростью.
Для $f(x)=x^2$ найдите среднюю скорость на $[2,4]$ и оцените мгновенную скорость в точке $x=2$.
- Средняя на $[2,4]$: $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{16-4}{2}=6$.
- Сужение к точке $2$: на $[2,2.1]$ получаем $\dfrac{4.41-4}{0.1}=4.1$; на $[2,2.01]$ получаем $4.01$.
- Средние скорости сходятся к значению $4$ — мгновенная скорость в точке $x=2$ равна $4$.
Средняя скорость изменения на $[a,b]$ — это разностное отношение $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — наклон секущей линии. При сужении интервала секущая приближается к касательной, наклон которой равен мгновенной скорости изменения в данной точке.