Связь бесконечных пределов и вертикальных асимптот
Введено| English | Значение |
|---|---|
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | бесконечный предел |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | вертикальная асимптота |
Когда выход уходит в бесконечность
- Иногда при $x\to c$ функция не стабилизируется на каком-либо числе — она растет неограниченно.
- Мы записываем $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ (или $-\infty$), чтобы описать такое поведение неограниченного роста.
- Это бесконечный предел. Будьте внимательны: «$=\infty$» — это описание, а не реальное значение — технически предел как конечное число не существует.
- Это происходит, когда знаменатель стремится к нулю, а числитель остается далеким от нуля.
Запись $\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ означает, что предел существует как конечное число.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Это сокращенная запись для неограниченного роста; как конечное число предел не существует.
Читайте каждую сторону отдельно
- Вблизи взрыва две стороны часто ведут себя по-разному, поэтому используйте односторонние бесконечные пределы.
- Для $f(x)=\dfrac1{x-2}$: при $x\to2^-$ знаменатель — крошечное отрицательное число, поэтому $f\to-\infty$.
- При $x\to2^+$ знаменатель — крошечное положительное число, поэтому $f\to+\infty$.
- Знак уменьшающегося знаменателя определяет направление, в которое улетает каждая сторона.
Наблюдайте, как график поднимается вдоль асимптоты
y = a / (x − b)
Когда $x$ приближается к $b$, обратная величина стремительно уходит к $+\infty$ с одной стороны и к $-\infty$ с другой — прямая $x=b$ является вертикальной асимптотой.
Для $f(x)=\dfrac1{x-2}$, чему равно $\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Сразу слева от $2$, $x-2$ — крошечное отрицательное число, поэтому $\frac{1}{\text{tiny}^-}\to-\infty$.
Определение вертикальной асимптоты
- Вертикальная асимптота — это прямая $x=c$, которой график приближается при стремлении к $\pm\infty$.
- Для рациональной функции найдите места, где знаменатель равен нулю, но числитель не равен нулю.
- $\dfrac{x+1}{x-2}$: знаменатель обращается в ноль при $x=2$, числитель там равен $=3\neq0$ → вертикальная асимптота $x=2$.
- (Если оба равны нулю, сначала разложите на множители — возможно, это будет устранимая «дырка», а не взрыв).
При каком значении $x$ $f(x)=\dfrac{x+1}{x-4}$ имеет вертикальную асимптоту?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Знаменатель обращается в ноль в точке $x=4$, числитель равен $=5\neq0$ → асимптота $x=4$.
Для $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ при $x=3$ и числитель, и знаменатель равны нулю. Это...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Оба равны нулю, значит сокращение: $x+3\to6$. Это устранимая «дырка», а не асимптота.
Прямая $x=c$, которой график следует при устремлении к $\pm\infty$, является вертикальной ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Она обозначает бесконечный разрыв.
Бесконечный предел ⇄ Асимптота
- Факт о графике и факт о пределе — это два взгляда на одно и то же.
- «$\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$» означает кривую, поднимающуюся вдоль асимптоты $x=2$ справа.
- Таким образом, бесконечный предел при $c$ гарантирует наличие вертикальной асимптоты при $x=c$, и наоборот.
- Опишите оба явления: односторонние бесконечные пределы и линию асимптоты.
Рациональная функция имеет вертикальную асимптоту в точке $x=c$, когда выполняются какие условия?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Знаменатель равен нулю, числитель не равен нулю → взрыв. Если числитель также равен нулю, это может быть устранимая «дырка».
Запись $\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ не означает, что предел существует как число — это сокращение для «растет неограниченно». И нулевой знаменатель сам по себе не является автоматически асимптотой: если числитель также равен нулю, сначала сократите дробь — вы можете обнаружить устранимую дырку, а не взрыв.
Проанализируйте $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ вблизи $x=2$.
- $x\to2^-$: знаменатель равен $\to0^-$, поэтому $f\to-\infty$.
- $x\to2^+$: знаменатель равен $\to0^+$, поэтому $f\to+\infty$.
- Числитель равен $1\neq0$, значит $x=2$ является вертикальной асимптотой.
- Двусторонний предел не существует (стороны уходят в противоположные направления).
Бесконечный предел $\lim_{x\to c}f(x)=\pm\infty$ описывает функцию, растущую неограниченно при $x\to c$ — это сокращение, а не конечное значение. Читайте каждую сторону отдельно (знак уменьшающегося знаменателя определяет направление). Там, где знаменатель рациональной функции равен нулю, а числитель нет, существует вертикальная асимптота $x=c$.