Устранение разрывов
Введено| English | Значение |
|---|---|
| piecewise function/ˈpiːswaɪz ˈfʌŋkʃn/ | кусочно-заданная функция |
Patching a hole
- A removable discontinuity is a hole where the limit exists but the value is wrong or missing.
- Since the limit is a perfectly good number, you can redefine the function at that one point to fill the hole.
- Set the point's value equal to the limit — the curve now flows through smoothly.
- This is repairing continuity: possible only for the removable type.
Кривая за дырой
y = x + 3
Сокращённая функция $y=x+3$ — прямая линия; заполнение дыры просто строит точку, через которую уже проходит эта линия.
Solving for a mystery constant
- Often a piecewise function 分段函数 has an unknown constant $k$, and you must pick $k$ to make it continuous.
- The rule is condition (3): make the limit equal the value at the seam.
- Set the two pieces equal at the join point and solve for $k$.
- One equation, one unknown — clean algebra.
A removable discontinuity: the limit at x = 2 is 2 so redefining f(2) = 2 removes the gap
Чтобы сделать кусочно-заданную функцию непрерывной в месте стыка, приравняйте предел значению функции ____.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Это условие (3) непрерывности: предел $=$ равен значению.
A worked pattern
- Suppose $f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$ is to be continuous at $x=2$.
- Left limit: $2+k$. Right value: $3(2)-1=5$.
- Continuity needs $2+k=5$, so $k=3$.
- With $k=3$ the two pieces meet exactly — no jump, a continuous function.
Для непрерывности $f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$ при $x=2$ найдите $k$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Приравняйте части при $2$: $2+k=5\Rightarrow k=3$.
Know what cannot be fixed
- Only removable holes are repairable — the limit must already exist.
- A jump (unequal one-sided limits) has a gap of real width: no single redefinition closes it.
- An infinite discontinuity blows up: no value tames an asymptote.
- So first classify; if the two-sided limit is missing, the discontinuity is permanent.
Какой разрыв можно устранить переопределением одной точки?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Только устранимый тип имеет двусторонний предел, к которому можно привести; скачки и уходы в бесконечность исправить нельзя.
Переопределение $f(c)$ может создать двусторонний предел, которого раньше не существовало.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Одна точка не влияет на предел; если стороны расходятся, переопределение ничего не меняет.
Выберите все разрывы, которые нельзя устранить.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Все, что не имеет двустороннего предела, является постоянным; только устранимую дырку можно заполнить.
You can only "remove" a discontinuity where the two-sided limit already exists. If the left and right limits differ, setting $f(c)$ to any number still leaves the sides disagreeing — the function stays discontinuous. Redefining a point never creates a limit that wasn't there.
Чтобы убрать дыру $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ при $x=5$, определите $f(5)$ равным пределу. Какое значение?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Предел $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$, значит $f(5)=10$.
Find $c$ so that $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x\neq3\\ c,&x=3\end{cases}$ is continuous at $x=3$.
- The limit: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- Continuity requires $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$.
- Setting $c=6$ fills the hole; $f$ is now continuous at $3$.
A removable discontinuity is repaired by redefining $f(c)$ to equal the (existing) limit. For a piecewise function with an unknown constant, set the pieces equal at the join — limit $=$ value — and solve. Jump and infinite discontinuities have no two-sided limit, so they cannot be removed.