Подтверждение непрерывности на интервале
Введено| English | Значение |
|---|---|
| interval/ˈɪntəvl/ | интервал |
| domains/dəˈmeɪnz/ | область определения |
From one point to a whole stretch
- Continuity at a single point is nice; usually we want it across an interval 区间.
- A function is continuous on an interval if it is continuous at every point inside it.
- That's what lets you draw the whole stretch without lifting your pen.
- Two subtleties: how to treat the endpoints, and which familiar functions are automatically continuous.
Непрерывна на всём изображении
y = ax³ + bx
Многочлен непрерывен на любом интервале — нет ни дыр, ни скачков, ни ухода в бесконечность нигде.
Open vs. closed intervals
- On an open interval $(a,b)$: check the three-condition continuity at every interior point.
- On a closed interval $[a,b]$: also handle the endpoints, where you can only approach from one side.
- At the left end $a$, require right-continuity: $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$.
- At the right end $b$, require left-continuity: $\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$.
Continuous on (a, b): no breaks inside and the one-sided limits match at the ends
На левом конце $a$ замкнутого интервала $[a,b]$ непрерывность требует...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
К левому концу можно приблизиться только справа, поэтому требуется правосторонняя непрерывность.
Для $f(x)=\sqrt x$ на $[0,9]$, проверка левосторонней непрерывности на правом конце требует $\lim_{x\to9^-}\sqrt x$. Чему равно это значение?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\sqrt 9 = 3$, которое равно $f(9)$, поэтому $f$ левосторонне непрерывно там.
The functions that come "pre-continuous"
- On their natural domains 定义域, these families are continuous everywhere:
- Polynomials — continuous for all real $x$.
- Rational, exponential, logarithmic, and trigonometric functions — continuous wherever they are defined.
- So a rational function is continuous except where its denominator is zero; $\ln x$ is continuous for $x>0$.
Какая функция непрерывна для всех действительных $x$?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Многочлены непрерывны везде; остальные имеют пробелы в области определения.
Выберите все семейств функций, которые непрерывны на всей своей естественной области определения.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Все четыре непрерывны на протяжении своих областей определения — область определения просто исключает проблемные точки (например, рациональная функция обнуляется при нуле знаменателя).
Why we care: it unlocks theorems
- Continuity on a closed interval is the entry ticket to the big theorems ahead.
- The Intermediate Value Theorem (1.16) and the Extreme Value Theorem (Unit 5) both require continuity on $[a,b]$.
- Skip the continuity check and those theorems simply do not apply — a common exam trap.
- So confirming continuity over an interval is not busywork; it is the hypothesis everything else stands on.
$f(x)=\dfrac1x$ непрерывна на интервале $[-1,1]$.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$0\in[-1,1]$ и $f$ уходят в бесконечность там, поэтому она не непрерывна на этом интервале.
Непрерывность на замкнутом интервале является необходимым предпосылкой теоремы о ____ Значении.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Теорема о промежуточных значениях (IVT) и теорема о крайних значениях требуют непрерывности на $[a,b]$.
"Continuous on its domain" is not the same as "continuous everywhere." $f(x)=\dfrac1x$ is continuous on its domain (all $x\neq0$), yet it is not continuous on $[-1,1]$ because $0$ is in that interval and $f$ blows up there. Always check that the interval avoids the trouble spots.
Is $f(x)=\sqrt{x}$ continuous on $[0,4]$?
- Interior $(0,4)$: $\sqrt x$ is continuous (a standard function on its domain). ✓
- Left endpoint $0$: $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0=f(0)$ — right-continuous. ✓
- Right endpoint $4$: $\displaystyle\lim_{x\to4^-}\sqrt x=2=f(4)$ — left-continuous. ✓
- So $f$ is continuous on the closed interval $[0,4]$.
$f$ is continuous on an interval when it is continuous at every point inside, using one-sided continuity at the endpoints of a closed interval. Polynomials, rational, exponential, logarithmic, and trigonometric functions are continuous on their domains. This interval-continuity is the hypothesis the IVT and EVT depend on.