Определение непрерывности в точке
Введено| English | Значение |
|---|---|
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | непрерывность |
"Draw it without lifting your pen"
- Intuitively, a function is continuous 连续 at $c$ if its graph has no break there — no hole, no jump, no blow-up.
- But "no break" needs a precise test you can check, not just eyeball.
- Calculus pins it to three conditions, all about the point $c$.
- Pass all three and the curve flows smoothly through $\big(c, f(c)\big)$.
Кривая без разрывов
y = ax² + bx + c
Этот многочлен удовлетворяет всем трём условиям непрерывности в каждой точке — он определён, предел существует, и они совпадают.
The three conditions
- (1) $f(c)$ is defined — the point actually exists (no hole).
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ exists — both one-sided limits agree (no jump, no blow-up).
- (3) They are equal: $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ — the curve arrives exactly where the point sits.
- All three must hold. Continuity at $c$ is precisely conditions (1) + (2) + (3).
Three ways continuity fails: a removable hole and a jump and an infinite asymptote
Выберите все условия, необходимые для того, чтобы $f$ была непрерывной при $c$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Три условия: функция определена, предел существует, и они равны. Быть многочленом не обязательно.
Третье условие непрерывности гласит, что предел должен ____ значению функции $f(c)$.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.
Break any one → discontinuity
- Fail (1): the point is missing — a hole even if the limit exists.
- Fail (2): the sides disagree or the function blows up — a jump or infinite break.
- Fail (3): both exist but the dot floats off the curve — a removable hole plotted elsewhere.
- Each failure matches a discontinuity type from the previous lesson.
Если $f(c)=1$ и $\lim_{x\to c}f(x)=4$, то при $c$ функция...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Оба существуют, но расходятся — условие 3 не выполняется, поэтому $f$ разрывна (устранимая дыра).
Checking a specific point
- Plug in: is $f(c)$ a real number? (Condition 1.)
- Take the limit from both sides: do they agree on a value $L$? (Condition 2.)
- Compare: does $L=f(c)$? (Condition 3.)
- Only "yes, yes, yes" earns the label continuous at $c$.
Знания только того, что $f(c)$ определено, достаточно, чтобы заключить, что $f$ непрерывна при $c$.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Также необходимо, чтобы предел существовал и был равен $f(c)$.
Для $f(x)=x^2+1$, является ли $f$ непрерывной при $x=2$?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Все три условия выполнены, поэтому $f$ непрерывна при $2$ (многочлены непрерывны везде).
Для непрерывности $f$ при $x=1$ требуется $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$. Если $\lim_{x\to1}f(x)=7$, чему должно быть равно $f(1)$?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Условие 3 диктует значение $f(1)=7$.
All three conditions are needed — checking only that $f(c)$ exists, or only that the limit exists, is not enough. A function can have a perfectly good $f(c)=1$ and a perfectly good $\lim_{x\to c}f(x)=4$, yet still be discontinuous because $1\neq4$ (condition 3 fails).
Is $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x\neq1\\[4pt]3,&x=1\end{cases}$ continuous at $x=1$?
- (1) $f(1)=3$ — defined. ✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — exists. ✓
- (3) $2 \neq 3$ — not equal. ✗
- Condition (3) fails, so $f$ is discontinuous at $1$ (a removable hole with the point plotted at height $3$).
$f$ is continuous at $c$ exactly when three things hold: $f(c)$ is defined, $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ exists, and the two are equal. Fail any one and you get a discontinuity — the failed condition tells you which type.