Исследование типов разрывов
Введено| English | Значение |
|---|---|
| discontinuity/dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | Разрыв функции |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | Устранимый разрыв |
| jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | Разрыв первого рода |
| infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | бесконечный разрыв |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | вертикальная асимптота |
Где «ломается» график
- Непрерывную кривую можно нарисовать, не отрывая ручки. Разрыв — это нарушение этой плавности.
- Не все разрывы одинаковы — есть три различных типа, каждый со своей уникальной особенностью на графике.
- Название типа сразу скажет, можно ли устранить этот разрыв.
- Познакомимся со всеми тремя: устраняемый, скачок и бесконечный.
Устраняемый: одна пропущенная точка
- Устранимый разрыв — это просто дырка в иначе гладкой кривой.
- Предел существует (обе стороны сходятся к одной высоте), но значение функции в точке $f(c)$ отсутствует или отмечено в другом месте.
- $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ имеет разрыв (дырку) в точке $x=2$: предел равен $4$, но значение $f(2)$ не определено.
- Поскольку предел существует, «дырку» можно заполнить — отсюда название устраняемый (урок 1.13).
При $x=3$, $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ имеет предел $6$, но $f(3)$ не определён. Разрыв является...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Предел существует, но значение отсутствует — это «дыра», т.е. устранимый разрыв.
Скачок: стороны не сходятся во мнении
- Скачкообразный разрыв возникает, когда левосторонний и правосторонний пределы конечны, но различны.
- График резко перепрыгивает с одной высоты на другую — представьте ступеньку или налоговую ставку.
- Здесь предел $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ не существует, потому что односторонние пределы расходятся.
- Ни одно единственное значение не может перекрыть разрыв ненулевой ширины, поэтому скачок является неустраняемым.
Кривая, уходящая в бесконечность
y = a / (x − b)
Обратная функция стремится к $\pm\infty$ вблизи точки, где её знаменатель обращается в ноль — это бесконечный разрыв и вертикальная асимптота.
Разрыв скачка можно устранить переопределением функции в одной точке.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Односторонние пределы различны, поэтому единого значения, закрывающего разрыв, нет — скачки не являются устранимыми.
Ступенчатая функция равна $1$ при $x<0$ и $4$ при $x\ge0$. Каков размер скачка при $x=0$?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Правый минус левый: $4-1=3$.
Бесконечный: уход в $\pm\infty$
- Бесконечный разрыв — это место, где функция неограниченно возрастает около точки $c$.
- График устремляется вверх или вниз вдоль вертикальной асимптоты — как в примере с $f(x)=\dfrac1{x-2}$ при $x=2$.
- Предел бесконечен (или не существует), поэтому этот разрыв также является неустраняемым.
- Характерный признак: знаменатель стремится к нулю, а числитель — нет.
Бесконечный разрыв на графике выглядит как вертикальная ____.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Функция неограниченно возрастает вдоль вертикальной асимптоты.
Какой тип разрыва является единственным, для которого двусторонний предел существует?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Устранимый = дыра, где обе стороны сходятся к одному значению, значит, предел существует.
Выберите все функции с бесконечным разрывом в отмеченной точке.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Третья функция устранима (предел $=2$). Остальные уходят в бесконечность к $\pm\infty$.
Только устраняемый тип имеет настоящий двусторонний предел. Для скачкообразных и бесконечных разрывов предел не существует, поэтому никакая хитрая перестановка значения в одной точке не сделает функцию непрерывной. Не пытайтесь «заполнить» скачок — разрыв имеет реальную ширину.
Классифицируйте разрыв каждой функции в отмеченной точке:
- $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ при $x=3$: предел $=6$, значение не определено → устраняемый (дырка).
- $f(x)=\begin{cases}1,&x<0\\2,&x\ge0\end{cases}$ при $x=0$: слева $\to1$, справа $\to2$ → скачок.
- $\dfrac{1}{x^2}$ при $x=0$: растет до $+\infty$ → бесконечный.
Три вида разрыва: устранимый (дыра — предел существует, но $f(c)$ не совпадает), скачок (конечные односторонние пределы, которые расходятся) и бесконечный (неограниченность вблизи $c$, вертикальная асимптота). Только устранимый вид имеет двусторонний предел, поэтому только он может быть устранен.