Определение пределов с использованием теоремы о двух милиционерах (теорема о зажатии)
Введено| English | Значение |
|---|---|
| Squeeze Theorem/skwiːz ˈθɪərəm/ | Теорема о двух милиционерах |
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | Неравенство |
Trap a wild function between two tame ones
- Some limits resist substitution and algebra — like $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$, which wiggles infinitely fast.
- The escape: trap the messy function between two friendlier ones.
- If the upper and lower "walls" both head to the same height, the trapped function has nowhere else to go.
- This is the Squeeze Theorem 夹逼定理 (also called the Sandwich Theorem).
Заключение функции между двумя другими с равными пределами использует теорему о ____.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Также известна как теорема о сэндвиче.
What the theorem says
- Suppose near $c$ (except maybe at $c$ itself) we have $g(x)\le f(x)\le h(x)$.
- If $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$, then $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ too.
- The two bounds squeeze $f$ onto the single value $L$.
- You need two things: a valid inequality 不等式 near $c$, and equal limits for the bounds.
The Squeeze Theorem traps x squared sin(1/x) between minus x squared and x squared
Чтобы применить теорему о двух милиционерах к $f$ рядом с $c$, вам нужны все из перечисленного ниже...
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Вам нужны двусторонние оценки с равными пределами, верные вблизи $c$. $f$ не обязан быть многочленом — в этом и состоит суть метода.
The classic wiggle
- $\sin\tfrac1x$ swings between $-1$ and $1$ forever as $x\to0$ — no limit on its own.
- But multiply by $x^2$: since $-1\le\sin\tfrac1x\le1$, we get $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$.
- Both walls $\pm x^2 \to 0$ as $x\to0$.
- Squeezed between them, $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x=0$.
Сжимающая стенка $y=x^2$
y = ax²
Парабола $y=x^2$ и её зеркальное отражение $-x^2$ оба «прижимаются» к $0$ в начале координат — любая величина, заключенная между ними, вынуждена стремиться к $0$.
Используя $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$, найдите $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Обе стены стремятся к $\pm x^2\to 0$, значит, зажатая функция стремится к $\to 0$.
Checking the setup honestly
- The inequality only has to hold near $c$, not everywhere — a small interval around $c$ is enough.
- The bounds' limits must be equal; if the walls head to different heights, the theorem says nothing.
- Squeeze is the standard route to the famous $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, from the geometric bounds $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$.
- Always name your two bounding functions explicitly — that is the heart of the argument.
Ограничение $f$ только сверху, при наличии $f(x)\le h(x)$, достаточно для применения теоремы о двух милиционерах.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Вам нужны оценки с обеих сторон с равными пределами — одна оценка ничего не доказывает.
Теорема о двух милиционерах, при наличии $\cos x\le\tfrac{\sin x}{x}\le 1$, дает $\displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=$
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Когда $x\to0$, $\cos x\to1$ и верхняя граница стремится к $1$, средняя величина «зажимается» до значения $1$.
Если нижняя оценка стремится к $2$, а верхняя к $5$, теорема о двух милиционерах говорит, что предел зажатой величины равен...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Оценки должны иметь равные пределы; неравные границы не дают вывода.
The Squeeze Theorem needs the bounds to squeeze from both sides with equal limits. If you only bound $f$ from above ($f\le h$), or the two bounds head to different values, you have proved nothing. And the inequality must genuinely hold near $c$ — check it, don't assume it.
Show $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\tfrac1x=0$.
- For all $x\neq0$: $-1\le\cos\tfrac1x\le1$.
- Multiply by $x^2\ (\ge0)$: $-x^2\le x^2\cos\tfrac1x\le x^2$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}(-x^2)=0$ and $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0$.
- By the Squeeze Theorem, the middle limit is also $0$.
The Squeeze Theorem: if $g\le f\le h$ near $c$ and $\lim g=\lim h=L$, then $\lim f=L$. Use it when a function oscillates or otherwise resists direct methods — bound it above and below by functions with equal limits, verify the inequality near $c$, and $f$ is trapped onto $L$.