Определение пределов и использование обозначений
Введено| English | Значение |
|---|---|
| limit/ˈlɪmɪt/ | ⟦предел⟧ |
| approaches/əˈprəʊtʃɪz/ | ⟦стремится к⟧ |
| one-sided limit/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | ⟦односторонний⟧ предел |
| left-hand/left hænd/ | ⟦левосторонний⟧ |
| right-hand/raɪt hænd/ | ⟦правосторонний⟧ |
| two-sided limit/tuː ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | ⟦двусторонний⟧ предел |
Куда движется график?
- Забудьте на мгновение о единственной точке — спросите, куда направляется кривая, когда вы приближаете $x$ к определенному значению.
- Следите за $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$, когда $x$ приближается к $1$. Подставьте $x=1$, и вы получите $\tfrac{0}{0}$ — не определено.
- Тем не менее выходы steadily движутся к $2$: $f(0.9)=1.9$, $f(0.99)=1.99$, $f(1.01)=2.01$.
- Функция имеет дыру в $x=1$, но она явно направлена к $2$. Это целевое значение является пределом.
Следите за направлением кривой
y = ax² + bx + c
Перемещайте коэффициенты и выберите входное значение $c$ в уме — предел это высота, к которой стремится кривая вблизи $c$, а не сама точка.
Запись предела: нотация
- Мы записываем $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = L$ и читаем это как «предел $f$ функции $x$ при стремлении $x$ к $c$ равен $L$».
- $c$ — это входное значение, которому мы приближаемся; $L$ — это выходное значение, к которому стремится функция.
- Ключевой момент: $x \to c$ означает «приближается к $c$» — никогда «равно $c$». Мы остаемся вне самой точки.
- Для нашего примера: $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$, даже хотя $f(1)$ не существует.
Обозначение $\lim_{x \to c} f(x) = L$ означает, что при $x$...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$x \to c$ означает, что $x$ стремится к $c$, не касаясь его, и $f(x)$ движется к $L$.
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Разложить на множители: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ для $x\neq3$, которое стремится к $3+3=6$.
Приближение слева и справа
- Вы можете приблизиться к $c$ с двух сторон, и у каждой есть свой односторонний предел.
- Снизу ($x$ немного меньше $c$): левосторонний предел, $\displaystyle\lim_{x \to c^-} f(x)$.
- Сверху ($x$ немного больше $c$): правосторонний предел, $\displaystyle\lim_{x \to c^+} f(x)$.
- Маленькие знаки $-$ и $+$ находятся высоко над $c$, чтобы показать направление движения.
Какое выражение является правосторонним пределом $f$ в точке $c$?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Индекс $+$ над $c$ означает, что $x$ приближается сверху — с правой стороны.
Обе стороны должны совпадать
- Обычный двусторонний предел $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x)$ существует только когда оба односторонних предела существуют и равны.
-
$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = L \iff \lim_{x \to c} f(x) = L$$
- Если левая часть стремится к одному значению, а правая — к другому, двусторонний предел не существует (DNE).
Двусторонний предел в точке $c$ существует только тогда, когда левосторонний и правосторонний пределы оба существуют и ____.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Оба односторонних предела должны совпадать на одном значении $L$.
Выберите все ситуации, в которых $\lim_{x\to c} f(x)$ не существует.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Предел не существует, если стороны расходятся, значение не ограничено или происходит осцилляция. Несовпадение со стороны $f(c)$ само по себе не отменяет предел — оно лишь нарушает непрерывность.
Предел касается пути, а не конечной точки. $\lim_{x \to c} f(x)$ может существовать, когда $f(c)$ не определено, и он может отличаться от $f(c)$, если точка нанесена в другом месте. Никогда не предполагайте $\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$ — это частный случай (непрерывность), а не правило.
Если $f(c)$ не определен, то $\lim_{x \to c} f(x)$ существовать не может.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Речь идет о стремлении, а не о точке. $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$ даже если $f(1)$ не определен.
Для кусочно-заданной функции рассматривайте $\displaystyle\lim_{x\to 2^-} f(x) = 3$ и $\displaystyle\lim_{x\to 2^+} f(x) = 5$.
- Левая часть стремится к $3$; правая часть стремится к $5$.
- Они расходятся, поэтому $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ не существует — график имеет разрыв при $x=2$.
- Это верно независимо от того, какое значение (если оно вообще есть) нанесено в точке $x=2$.
$\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ означает, что $f(x)$ приближается к $L$, когда $x$ приближается к $c$ с обеих сторон — никогда не касаясь $c$. Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда существуют левосторонний и правосторонний пределы и они равны. Предел описывает, куда стремится функция, что не обязательно равно $f(c)$.