Оценка значений пределов по графикам
Введено| English | Значение |
|---|---|
| left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/ | ⟦левосторонний⟧ предел |
| right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/ | ⟦правосторонний⟧ предел |
| hole/həʊl/ | ⟦вырезанная точка⟧ |
| jump/dʒʌmp/ | ⟦скачок⟧ |
| unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/ | ⟦неограниченный⟧ |
| oscillation/ˌɒsɪˈleɪʃn/ | ⟦колебание⟧ |
Считайте предел прямо по графику
- Имея перед собой график, можно часто увидеть предел без каких-либо алгебраических вычислений.
- Приложите палец к кривой немного левее $x=c$ и ведите его в сторону $c$: к какой высоте вы движетесь?
- Сделайте то же самое справа. Если оба пальца указывают на одну и ту же высоту, эта высота является пределом.
- Секрет: следите за тем, куда направляется кривая, и игнорируйте любую отдельную отмеченную точку в $x=c$.
Проследите за кривой к точке
y = ax² + bx + c
Подвиньтесь к входному значению слева и справа — предел это общая высота, к которой стремится кривая, независимо от того, что говорит одиночная точка.
Чтобы прочитать $\lim_{x\to c} f(x)$ по графику, нужно посмотреть на...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Предел — это общая высота, достигаемая с обеих сторон; точка в $c$ не имеет значения.
Левая и правая части считываются отдельно
- Ведите линию только слева → левосторонний предел $\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)$.
- Ведите линию только справа → правосторонний предел $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)$.
- На графике закрашенная точка ● означает, что точка принадлежит кривой; незакрашенная точка ○ (выколотая точка) означает, что её нет.
- Предел не зависит от того, закрашена точка или выколота — он учитывает только приближение.
График steadily растет, и непосредственно слева от $x=5$ кривая проходит через высоты $2.9, 2.99, 2.999$. Оцените $\lim_{x\to 5^-} f(x)$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Значения слева сходятся к $3$, поэтому левосторонний предел равен $3$.
Когда предел не существует
- Три классические формы графика делают невозможным существование предела (DNE):
- Разрыв: обе стороны стремятся к разным высотам.
- Неограниченный рост: кривая устремляется вверх к $\pm\infty$ рядом с вертикальной асимптотой.
- Колебания: кривая колеблется бесконечно быстро (как $\sin\frac1x$) и никогда не успокаивается.
Если левая часть графика стремится к $2$, а правая к $6$, предел не существует из-за ____.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Разные односторонние высоты означают скачок, поэтому двусторонний предел DNE (не существует).
По графику выберите все признаки, мешающие существованию $\lim_{x\to c} f(x)$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Уходы в бесконечность, скачки и осцилляция уничтожают предел. Устранимая дырка не делает этого — обе стороны все еще согласны.
Точка в $c$ — это приманка
- Высота, к которой стремится кривая, $\lim_{x\to c}f(x)$, — это отдельный вопрос от нанесённого значения $f(c)$.
- Кривая может плавно стремиться к $4$, в то время как одинокая точка находится в $f(c)=1$ — предел всё равно равен $4$.
- $f(c)$ может быть даже не определён (выколотая точка), в то время как предел существует.
- Поэтому всегда отвечайте на два вопроса отдельно: куда движется кривая? и есть ли точка, и где она?
Если график показывает открытую дырку в $(2,4)$ и заполненную точку в $(2,1)$, то $\lim_{x\to 2} f(x) = 4$.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Кривая приближается к высоте $4$ с обеих сторон, поэтому предел равен $4$; заполненная точка — это просто $f(2)=1$.
Гладкая кривая проходит через высоту $7$ в точке $x=3$ без дырок или точек elsewhere. Каковы $f(3)$ и $\lim_{x\to 3} f(x)$?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Без дырки или скачка кривая непрерывна там, поэтому предел $= f(3) = 7$.
Распространённая ловушка: чтение значения $f(c)$ (отмеченная точка), когда вопрос требует найти $\lim_{x\to c}f(x)$ (приближение). Это разные вещи. Если вы видите закрашенную точку, парящую выше плавной кривой, предел равен высоте кривой — а не точки.
По графику: вблизи $x=2$ кривая поднимается до дырки на высоте $4$, а закрашенная точка нанесена в координате $(2,\,1)$.
- Левосторонний предел: стремление к $4$. Правосторонний предел: стремление к $4$.
- Обе стороны согласуются, значит, $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 4$.
- Но значение функции в точке $f(2) = 1$ (закрашенная точка) отличается от предела. Предел $\neq$ ≠ значение функции здесь.
Чтобы считать предел по графику, проследите кривую к $c$ с обеих сторон и спросите себя, к какой высоте вы движетесь; нанесённая точка в $c$ — это приманка. Предел не существует, если стороны указывают на разные высоты (скачок), кривая неограничена или она колеблется бесконечно.