Введение в производную: Может ли происходить мгновенное изменение?
Введено| English | Значение |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | ⟦средняя⟧ скорость изменения |
| slope/sləʊp/ | ⟦угловой⟧ коэффициент |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | ⟦секущая⟧ прямая |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | ⟦касательная⟧ прямая |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | ⟦мгновенная⟧ скорость изменения |
| limit/ˈlɪmɪt/ | ⟦предел⟧ |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | ⟦производная⟧ |
Как быстро, прямо сейчас?
- Спидометр вашего автомобиля показывает $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ в один конкретный момент.
- Но скорость — это расстояние, деленное на время — а в момент времени нет, и расстояние не проходит.
- Так как же можно иметь скорость в один момент?
- Ответ на этот вопрос является началом исчисления.
Средний темп изменения
- На интервале изменение легко рассчитать: это общее изменение, деленное на затраченное время.
- Это средний темп изменения функции.
- На графике это наклон прямой линии, соединяющей две точки — секущей прямой.
- Пример: от $x=1$ до $x=3$ средний темп составляет $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$.
Наклон секающей линии между двумя точками на кривой дает…
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Секающая соединяет две точки, поэтому ее наклон — это средняя скорость изменения за этот интервал.
Сближение двух точек
- Теперь подвигайте вторую точку всё ближе и ближе к первой.
- Секущая линия поворачивается и приближается к тому, чтобы лишь касаться кривой в одной точке.
- Эта касательная линия называется касательной.
По мере того как вторая точка скользит к первой, секающая линия приближается к…
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Секающая поворачивается, пока просто не коснется кривой — она приближается к касательной линии.
Мгновенный темп изменения
- Наклон касательной является мгновенным темпом изменения в этой точке.
- Это и есть показание спидометра — темп в один точный момент.
- Для графика зависимости координаты от времени это мгновенная скорость.
Средняя скорость или мгновенная скорость?
Определите, измеряется ли каждая величина за интервал или в конкретный момент времени.
Наклон касательной линии — это ____ скорость изменения.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Касательная линия касается кривой в одной точке, поэтому ее наклон — это мгновенная скорость изменения в этой точке.
Вы не можете найти мгновенный темп, просто подставив одну точку — это даст $\tfrac{0}{0}$, что не определено. Нужно наблюдать, к чему стремится средний темп по мере уменьшения интервала.
Вы можете найти мгновенную скорость изменения, подставив одну точку в формулу средней скорости.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Это дает $\tfrac{0}{0}$, что не определено. Вы должны взять предел, когда интервал стремится к нулю.
Это «стремится» — это предел
- Мы никогда на самом деле не делим на ноль; мы спрашиваем, к какому значению стремится наклон.
- Это значение является пределом — центральной идеей исчисления.
- Предел среднего темпа изменения, по мере того как интервал сжимается до нуля, называется производной.
- Весь первый раздел курса посвящен тому, чтобы сделать эту идею точной.
Выберите все верные утверждения о производной в точке.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Производная — это предел средних скоростей изменения при уменьшении интервала — наклон касательной, т.е. мгновенная скорость.
Высота мяча равна $h(t) = 5t^2$ метрам. Оцените его скорость в $t=2$ с.
- Средний темп от $t=2$ до $t=2.1$: $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- От $t=2$ до $t=2.01$: $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Значения сходятся к $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — этот предел и есть мгновенная скорость.
Высота мяча равна $h(t)=5t^2$ м. Оцените его мгновенную скорость в момент $t=2$ с (в м/с).
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Уменьшая интервал, средняя скорость приближается к $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — этот предел и есть мгновенная скорость.
Средний темп изменения = наклон секущей прямой на интервале. Сократите интервал до нуля, и секущая приблизится к касательной, наклон которой является мгновенным темпом изменения. Это предельное значение является производной.