Суммы Римана, нотация суммирования и нотация определенного интеграла
Введено| English | Значение |
|---|---|
| summation notation/sʌˈmeɪʃn nəʊˈteɪʃn/ | знак суммы |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | определённый интеграл |
| limits of integration/ˈlɪmɪts ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | пределы интегрирования |
Запись «сложить все прямоугольники» компактно
- Сумма Римана со множеством прямоугольников требует аккуратной нотации — используйте нотацию суммирования.
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ означает «добавить $f(x_i)\,\Delta x$ для $i=1$ до $n$».
- Каждая полоска имеет ширину $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ и высоту $f(x_i)$ в точке выборки.
- $\Sigma$ просто говорит «сложите эти площади прямоугольников».
Для $n$ равных полос на $[a,b]$, ширина $\Delta x$ равна...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ширина интервала, деленная на количество полос.
Символ $\sum_{i=1}^{n}$ указывает вам на необходимость...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Сигма означает сумму в диапазоне индекса.
Пусть прямоугольники становятся бесконечно тонкими
- Оценка улучшается, когда $n$ растет, а $\Delta x$ уменьшается. Возьмите предел $n\to\infty$.
- В этом пределе сумма прямоугольников становится точной площадью — никаких приближений не остается.
- Это предельное значение называется определенным интегралом.
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
Интеграл представляет собой точную площадь
y = x²
По мере того как прямоугольники становятся бесконечно тонкими, их сумма становится точной заштрихованной областью — определенным интегралом.
Определенный интеграл $\int_a^b f\,dx$ является пределом суммы Римана при...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Бесконечное число бесконечно тонких прямоугольников → точная площадь.
Чтение нотации интеграла
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: символ $\int$ — растянутая «S» для суммы; $a$ и $b$ — пределы интегрирования.
- $f(x)$ — это подынтегральное выражение (то, что вы накапливаете); $dx$ — бесконечно тонкая ширина.
- Читается как «интеграл от $f$ по $x$, от $a$ до $b$»."
- Обозначает точную знаковую площадь между кривой и осью $x$ на отрезке $[a,b]$.
В $\int_a^b f(x)\,dx$ функция $f(x)$, которая накапливается, называется ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$a,b$ — это пределы; $f(x)$ — подынтегральная функция.
Это все еще знаковая площадь
- Как и сумма Римана, определенный интеграл является знаковым.
- Там, где $f>0$, интеграл прибавляет площадь; там, где $f<0$, он вычитает.
- Поэтому $\int_a^b f\,dx$ может быть положительным, отрицательным или нулем.
- $\Delta x$ несет направление: движение от $a$ к $b$ с $a<b$ делает ширины положительными.
Определенный интеграл $\int_a^b f\,dx$ вычисляется до одного числа.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Это число со знаком площади, а не функция.
Если $f(x)<0$ на всем $[a,b]$, то $\int_a^b f\,dx$ является...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Площадь ниже оси имеет отрицательный знак.
Определенный интеграл — это число (знаковая площадь), а не функция — не путайте его с неопределенным интегралом (семейство первообразных, урок 6.8). И $\int_a^b f\,dx$ — это знаковая площадь: кривая, уходящая ниже оси, дает отрицательный вклад, поэтому интеграл не равен «полной геометрической площади».
Выразите площадь под $f(x)=x^2$ на $[0,2]$ как определенный интеграл.
- Ширина каждой из $n$ полос: $\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$.
- Сумма Римана: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$.
- Точная площадь: $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ (что равно $\tfrac83$).
Сумма Римана в нотации суммирования выглядит как $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ с $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Её предел при $n\to\infty$ — это определенный интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — точная знаковая площадь, где $a,b$ — пределы интегрирования, а $f(x)$ — подынтегральное выражение.