Исследование накопления изменений
Введено| English | Значение |
|---|---|
| net change/net tʃeɪndʒ/ | чистое изменение |
| accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/ | накопление |
| area/ˈeərɪə/ | площадь |
| signed area/saɪnd ˈeərɪə/ | подписанная площадь |
Суммирование изменений для получения общего значения
- Производная разбивала вещи на скорости. Интегрирование собирает их обратно в общие величины.
- Зная скорость изменения чего-либо, можно найти чистое изменение, которое оно накапливает.
- Ехать с известной скоростью一段时间 → общий путь равен скорости, накопленной за время.
- Это «сложение скоростей» — вторая большая идея анализа: накопление.
Интегрирование (накопление) по сути является обратным действием к...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Накопление скорости обратна дифференцированию суммы.
Суммарное изменение, накопленное из скорости на интервале, называется ____ изменением.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Чистое изменение = ориентированное накопление.
Площадь под графиком скорости = накопленная величина
- Постройте скорость изменения по оси времени. Площадь под этим графиком равна общему накопленному изменению.
- Постоянная скорость $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ за время $2$ ч → площадь прямоугольника равна $=60\times2=120$ км².
- Изменяющаяся скорость создаёт изогнутую область, но идея та же: площадь = накопленная величина.
- Высота — это скорость; ширина — это интервал; площадь — это итог.
Площадь под графиком скорости — это суммарное значение
y = 3 (постоянная скорость)
Заштрихованная площадь под графиком скорости представляет собой накопленную величину — чем шире интервал, тем больше сумма.
Кран течет со скоростью $3$ л/мин в течение $4$ мин. Площадь под графиком скорости (накопленный объем) равна...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Площадь прямоугольника $=3\times4=12$ л.
Скорость линейно возрастает от $0$ до $6$ в течение $4$ мин (треугольник). Накопленная величина (площадь) равна...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Площадь треугольника $=\tfrac12\times4\times6=12$.
Знаковая площадь: скорости могут быть отрицательными
- Когда скорость положительна, величина растёт (площадь считается положительной).
- Когда скорость отрицательна (ниже оси), величина уменьшается (площадь считается отрицательной).
- Чистое изменение — это знаковая площадь: положительные части минус отрицательные.
- Так что движение объекта назад вычитает из накопленного смещения.
Там, где график скорости опускается ниже оси, эта площадь вычитается из чистого накопленного изменения.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Площадь ниже оси отрицательна (ориентированная площадь).
На графике зависимости скорости от времени часть графика ниже оси означает, что тело...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Отрицательная скорость = движение назад = отрицательная ориентированная площадь.
От скорости к величине
- Если $f$ — это скорость, и вы накапливаете её от $a$ до $b$, то получите чистое изменение исходной величины.
- Это ровно обратное дифференцированию — отмена скорости для восстановления итога.
- Инструмент, который точно вычисляет эту знаковую площадь, — определённый интеграл (будет позже).
- Пока что: площадь под графиком скорости = величина, которая накопилась.
Накопленное изменение — это знаковая площадь, а не просто «площадь». График скорости, опускающийся ниже оси, означает, что объект двигался назад, что вычитает из чистого смещения. Не складывайте всю площадь как положительную — области ниже оси считаются отрицательными.
Кран наполняет бак со скоростью $3\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$ в течение $4$ минут, затем $0$ после.
- График скорости — прямоугольник: высота $3$, ширина $4$.
- Накопленный объём = площадь $=3\times4=12$ л.
- Если бы скорость后来 стала отрицательной (слив), эта площадь вычлась бы из общего объема.
Накопление возвращает скорость к общему значению: знаковая площадь под графиком скорости за $[a,b]$ — это чистое изменение величины. Положительная скорость → площадь добавляется; отрицательная скорость → площадь вычитается. Определённый интеграл делает это точным.