Введение в задачи оптимизации
Введено| English | Значение |
|---|---|
| optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | оптимизация |
| variable/ˈveərɪəbl/ | переменная |
| objective function/ɒbˈdʒektɪv ˈfʌŋkʃn/ | целевая функция |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | ограничение |
Сделать величину максимально большой (или минимально малой)
- Реальные задачи спрашивают: какие размеры дают наибольшую площадь? наименьшую стоимость? кратчайшее время?
- Это задачи на оптимизацию — найти максимум или минимум какой-либо величины.
- Математический анализ решает их, потому что экстремумы находятся там, где производная равна нулю.
- Этот урок посвящен постановке задачи; решение будет дальше.
Назвать переменную и записать целевую функцию
- Выберите переменную для величины, которую вы можете контролировать (длину, радиус, цену).
- Запишите то, что нужно максимизировать или минимизировать, как функцию этой переменной — целевая функция.
- Пример: для прямоугольника с фиксированным периметром запишите площадь через длину одной стороны.
- Нарисуйте рисунок и подпишите его — большинство ошибок в постановке связаны с неподписанными схемами.
В задаче «максимизировать площадь при фиксированном периметре» площадь является...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Вы оптимизируете целевую величину (площадь); периметр — это ограничение.
Использовать ограничение для выражения одной переменной
- Обычно целевая функция начинается с двух переменных (например, длины и ширины).
- Уравнение ограничения связывает их (фиксированный периметр, фиксированный объем, бюджет).
- Выразите из ограничения одну переменную и подставьте, чтобы целевая функция зависела только от одной переменной.
- Теперь это обычная задача «найти экстремум».
Площадь как парабола, направленная ветвями вниз
y = ax² + bx
После применения ограничения площадь становится $A=10x-x^2$ — это парабола, направленная ветвями вниз, с одной вершиной, которую нужно найти.
Уравнение ограничения используется для того, чтобы...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Выразите одну переменную из уравнения ограничения и подставьте её.
Цель подготовки заключается в том, чтобы записать целевую функцию через ____ переменную.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Одна переменная ⇒ обычная задача на экстремум.
Расставьте этапы решения задачи оптимизации по порядку.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Переменная, целевая функция, ограничение, подстановка.
Разобранная постановка
- «У фермера есть $40$ м забора для прямоугольного загона у стены (забор со стороны стены не нужен)."
- Ограничение: использовано $=2x+y=40$ забора, значит $y=40-2x$.
- Целевая функция: площадь $A=xy=x(40-2x)=40x-2x^2$, теперь функция только от $x$.
- Готово к максимизации $A(x)$ — это урок 5.11.
При наличии $2x+y=40$ (стены с одной стороны) площадь $A=xy$ принимает вид...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$y=40-2x$, следовательно, $A=x(40-2x)=40x-2x^2$.
Учет области определения переменной (например, $0<x<10$) является частью правильного решения задачи оптимизации.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Границы области определения — это значения, при которых возможен правильный ответ.
Держите целевую функцию (то, что оптимизируется) отдельно от ограничения (фиксированной связи). Вы максимизируете/минимизируете целевую функцию, а ограничение используете только для исключения переменной. Также обратите внимание на область определения переменной (например, $x>0$ и $y>0$) — она ограничивает диапазон, в котором может лежать правильный ответ.
Постановка: максимизировать площадь прямоугольника с периметром $20$.
- Пусть стороны равны $x$ и $y$. Ограничение: $2x+2y=20\Rightarrow y=10-x$.
- Целевая функция: $A=xy=x(10-x)=10x-x^2$.
- Область определения: $0<x<10$. Задача сводится к «максимизации $A(x)=10x-x^2$».
Задача оптимизации находит максимум или минимум. Сформулируйте её, назвав переменную, записав целевую функцию для оптимизации и используя уравнение ограничения для сведения к одной переменной. Определите область определения. Затем это становится стандартной задачей на экстремум (следующий урок).