Применение правила степени
Введено| English | Значение |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | степень |
| Power Rule/ˈpaʊə ruːl/ | правило степени |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | целое число |
Укороченный путь, заменяющий предел
- Вычисление каждой производной по определению через предел — долго. Здесь есть закономерность.
- Для степеней $x$ одно правило делает всё мгновенно: Правило степени.
-
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
- «Спустите показатель степени как коэффициент, затем уменьшите показатель степени на единицу».
Степень и наклон касательной к ней
y = x²
Для $y=x^2$ правило степени дает наклон $2x$ — перетащите точку и проверьте, совпадает ли наклон касательной со $2x$.
Посмотрите, как это работает
- $\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — здесь $3$ спускается вперед, а показатель степени уменьшается до $3\to2$.
- $\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — производная от $x$ равна $1$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
- Это совпадает с определением через предел (мы получили $\frac{d}{dx}[x^2]=2x$), но занимает одну строку.
Чему равно $\dfrac{d}{dx}[x^5]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Снесите $5$ вниз, уменьшите показатель степени: $5x^{5-1}=5x^4$.
Если $f(x)=x^4$, найдите $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(x)=4x^3$, следовательно, $f'(2)=4\cdot8=32$.
Оно работает для любого показателя
- $n$ может быть отрицательным или рациональным (дробным) показателем, а не только положительным целым.
- Отрицательный: $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$.
- Рациональный: $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$.
- Одно и то же правило каждый раз — спустите $n$, уменьшив показатель степени на единицу.
$\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$. Показатель степени $\square$ является ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Уменьшите $-2$ на единицу: получится $-2-1=-3$.
Правило степени дифференцирует какое из этих выражений напрямую (после переписывания)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Все являются степенями от $x$ после переписывания; $5^x$ — это показательная функция, а не степень от $x$.
Сначала перепишите, затем дифференцируйте
- Корни и обратные величины скрывают степени — перепишите их как $x^n$ перед применением правила.
- $\sqrt{x}=x^{1/2}$, следовательно $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
- $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$, следовательно $\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$.
- Превращение каждого слагаемого в степень — ключевой подготовительный шаг.
Перепишите и продифференцируйте: $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$ равно...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt x=x^{1/2}\Rightarrow \tfrac12 x^{-1/2}=\tfrac1{2\sqrt x}$.
Правило степени применимо к $2^x$, давая $x\cdot 2^{x-1}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Правило степени требует переменного основания с постоянным показателем; $2^x$ — это показательная функция (следующий урок).
Правило степени предназначено для переменной основы с постоянным показателем ($x^n$). Оно не применяется к постоянной основе с переменным показателем — $\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$. (Это показательная функция, которая будет рассмотрена на следующем уроке.) И не забудьте уменьшить показатель: должно получиться $\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$, а не $-2x^{-2}$.
Найдите производную от $g(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac{1}{x}$.
- Перепишите как степени: $g(x)=x^{2/3}+x^{-1}$.
- Применяйте правило степени к каждому слагаемому: $\tfrac23 x^{-1/3}$ и $-1\cdot x^{-2}$.
- $g'(x)=\tfrac23 x^{-1/3}-x^{-2}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\dfrac1{x^2}$.
Правило степени $\frac{d}{dx}[x^n]=n\,x^{n-1}$ работает для любого постоянного показателя — целого, отрицательного или рационального. Сначала перепишите корни и обратные величины как степени, затем спустите показатель степени и уменьшите его на единицу. Оно заменяет определение через предел для степенных функций.