Связь пределов на бесконечности и горизонтальных асимптот
Введено| English | Значение |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | поведение на бесконечности |
| limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/ | пределы на бесконечности |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | горизонтальная асимптота |
Отдаленный план: что происходит вдали?
- Вместо того чтобы stremitься к $x\to c$, теперь давайте допустим, что $x$ уходит в $+\infty$ или $-\infty$.
- Это описывает поведение на конце функции — её форму в крайнем левом и крайнем правом концах.
- Мы записываем $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$: при $x$, растущем до огромных значений, $f$ стабилизируется и стремится к $L$.
- Это пределы на бесконечности, и они раскрывают горизонтальные тенденции.
Гонка старших степеней
- Для рациональной функции поведение на конце — это гонка между степенями числителя и знаменателя.
- Побеждает низшая степень (степень знаменателя выше): $f\to0$. Пример $\dfrac{x}{x^2+1}\to0$.
- Ничья (равные степени): $f\to$ отношение старших коэффициентов. Пример $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}\to3$.
- Побеждает высшая степень (степень числителя выше): $f\to\pm\infty$ — нет горизонтальной асимптоты (функция растет).
Кривая, которая выравнивается на удалении
y = a / (x − b) + d
Сдвиньте $x$ к краям — кривая типа обратной величины выравнивается по направлению к горизонтальной асимптоте, когда $x\to\pm\infty$.
Чему равно $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2+1}$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Степень знаменателя выше, поэтому дробь стремится к $0$.
Выберите все рациональные функции с горизонтальной асимптотой $y=0$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Степень знаменателя выше → $y=0$. Третий вариант имеет равные степени, давая $y=3$ вместо этого.
Горизонтальная асимптота
- Если $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ (конечное число), то прямая $y=L$ является горизонтальной асимптотой.
- График выравнивается и идет параллельно $y=L$ далеко от начала координат.
- Трюк: разделите каждый член на старшую степень $x$ в знаменателе, затем отправьте $x\to\infty$ (каждый $\tfrac1{x^n}\to0$).
- $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}=\dfrac{3+\tfrac1{x^2}}{1-\tfrac5{x^2}}\to\dfrac{3}{1}=3$.
Вычислите $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Равные степени → отношение старших коэффициентов $\frac31=3$.
Конечный предел на бесконечности, $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$, дает ____ асимптоту $y=L$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
График выравнивается по направлению к $y=L$.
Два конца могут отличаться
- Функция может стремиться к одному значению при $x\to+\infty$ и к другому значению при $x\to-\infty$.
- $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$ справа, но $\to-\tfrac{\pi}{2}$ слева — две горизонтальные асимптоты.
- Поэтому всегда проверяйте оба направления; не предполагайте симметрию.
- В отличие от вертикальной асимптоты (разрыва посередине), горизонтальная асимптота касается удаленной тенденции, и кривая может даже пересечь её.
График может пересечь свою горизонтальную асимптоту посередине и все равно приближаться к ней на концах.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Горизонтальные асимптоты описывают поведение только на большом удалении; пересечение посередине разрешено.
Для $\arctan x$ два предела $\lim_{x\to+\infty}$ и $\lim_{x\to-\infty}$ являются...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Два конца могут отличаться — здесь две горизонтальные асимптоты.
Вертикальная и горизонтальная асимптоты — это разные вещи. Вертикальная ($x=c$): выход взрывается при конкретном входе — график никогда её не пересекает. Горизонтальная ($y=L$): удаленная тенденция при $x\to\pm\infty$ — график может пересечь её посередине и всё равно стремиться к ней на концах.
Найдите $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-3x}{5x^2+7}$ и горизонтальную асимптоту.
- Степени совпадают (обе равны $2$), поэтому делим на $x^2$: $\dfrac{2-\tfrac3x}{5+\tfrac7{x^2}}$.
- При $x\to\infty$ члены $\tfrac3x$ и $\tfrac7{x^2}$ стремятся к $\to0$.
- Предел равен $=\dfrac{2}{5}$, следовательно, $y=\tfrac25$ является горизонтальной асимптотой.
Пределы на бесконечности описывают поведение на конце. Для рациональных функций: побеждает знаменатель → $0$; степени совпадают → отношение старших коэффициентов; побеждает числитель → $\pm\infty$ (нет горизонтальной асимптоты). Конечное $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ дает горизонтальную асимптоту $y=L$, а два конца могут отличаться.