Определение пределов с использованием теоремы о двух милиционерах (теорема о зажатии)
Введено| English | Значение |
|---|---|
| Squeeze Theorem/skwiːz ˈθɪərəm/ | теорема о двух милиционерах |
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | неравенство |
Заключите дикую функцию между двумя спокойными
- Некоторые пределы сопротивляются как подстановке, так и алгебре — например, $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$, который колеблется бесконечно быстро.
- Выход: заключите сложную функцию между двумя более простыми.
- Если верхняя и нижняя «стены» обе стремятся к одной и той же высоте, заключенной функции некуда деваться.
- Это Теорема о двух милиционерах (также известная как Теорема о сэндвиче).
Заключение функции между двумя другими с равными пределами использует теорему о ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Также известна как теорема о сэндвиче.
Что говорит теорема
- Предположим, вблизи $c$ (возможно, кроме самого $c$) выполняется неравенство $g(x)\le f(x)\le h(x)$.
- Если $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$, то $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ тоже.
- Две границы зажимают $f$ к единственному значению $L$.
- Вам нужны две вещи: корректное неравенство вблизи $c$ и равные пределы границ.
Чтобы применить теорему о двух милиционерах к $f$ рядом с $c$, вам нужны все из перечисленного ниже...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Вам нужны двусторонние оценки с равными пределами, верные вблизи $c$. $f$ не обязан быть многочленом — в этом и состоит суть метода.
Классическое колебание
- $\sin\tfrac1x$ бесконечно колеблется между $-1$ и $1$ при $x\to0$ — сам по себе предела нет.
- Но умножьте на $x^2$: поскольку $-1\le\sin\tfrac1x\le1$, мы получаем $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$.
- Обе стены $\pm x^2 \to 0$ при $x\to0$.
- Зажатая между ними, $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x=0$.
Сжимающая стенка $y=x^2$
y = ax²
Парабола $y=x^2$ и её зеркальное отражение $-x^2$ оба «прижимаются» к $0$ в начале координат — любая величина, заключенная между ними, вынуждена стремиться к $0$.
Используя $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$, найдите $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Обе стены стремятся к $\pm x^2\to 0$, значит, зажатая функция стремится к $\to 0$.
Честная проверка настройки
- Неравенство должно выполняться только вблизи $c$, а не повсюду — достаточно малого интервала вокруг $c$.
- Пределы границ должны быть равны; если стены стремятся к разным высотам, теорема ничего не утверждает.
- Метод «зажатой функции» является стандартным путем к известному $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, используя геометрические границы $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$.
- Всегда явно называйте свои две ограничивающие функции — это суть доказательства.
Ограничение $f$ только сверху, при наличии $f(x)\le h(x)$, достаточно для применения теоремы о двух милиционерах.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Вам нужны оценки с обеих сторон с равными пределами — одна оценка ничего не доказывает.
Теорема о двух милиционерах, при наличии $\cos x\le\tfrac{\sin x}{x}\le 1$, дает $\displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Когда $x\to0$, $\cos x\to1$ и верхняя граница стремится к $1$, средняя величина «зажимается» до значения $1$.
Если нижняя оценка стремится к $2$, а верхняя к $5$, теорема о двух милиционерах говорит, что предел зажатой величины равен...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Оценки должны иметь равные пределы; неравные границы не дают вывода.
Теореме о двух милиционерах необходимо, чтобы границы сжимали функцию с обеих сторон с равными пределами. Если вы ограничиваете $f$ только сверху ($f\le h$) или две границы стремятся к разным значениям, вы ничего не доказали. И неравенство должно действительно выполняться вблизи $c$ — проверьте его, не принимайте как данность.
Докажите $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\tfrac1x=0$.
- Для всех $x\neq0$: $-1\le\cos\tfrac1x\le1$.
- Умножьте на $x^2\ (\ge0)$: $-x^2\le x^2\cos\tfrac1x\le x^2$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}(-x^2)=0$ и $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0$.
- По теореме о двух милиционерах, средний предел также равен $0$.
Теорема о зажатой функции: если $g\le f\le h$ вблизи $c$ и $\lim g=\lim h=L$, то $\lim f=L$. Применяйте её, когда функция колеблется или сопротивляется прямым методам — ограничьте её сверху и снизу функциями с равными пределами, проверьте неравенство вблизи $c$, и $f$ будет «зажато» на пути к $L$.