Определение пределов с использованием алгебраических свойств пределов
Введено| English | Значение |
|---|---|
| limit laws/ˈlɪmɪt lɔːz/ | правила пределов |
| direct substitution/daɪˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | прямая подстановка |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | многочлен |
| rational/ˈræʃənl/ | рациональный |
| indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/ | неопределённость |
Пределы подчиняются алгебраическим правилам
- Зная пределы двух функций, можно комбинировать их как обычные числа.
- К чему бы ни стремились $f$ и $g$, их сумма стремится к сумме этих целей.
- То же самое работает для разностей, произведений и (аккуратно) для частных.
- Это правила предельного перехода — они позволяют разбить сложный предел на простые части.
Правила предельного перехода, собранные вместе
- Предположим, что $\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ и $\displaystyle\lim_{x\to c} g(x)=M$. Тогда:
- Сумма / разность: $\lim (f\pm g) = L\pm M$.
- Произведение: $\lim (f\cdot g) = L\cdot M$; постоянный множитель: $\lim (k f)=kL$.
- Частное: $\displaystyle\lim \frac{f}{g}=\frac{L}{M}$, при условии, что $M\neq 0$.
Дано $\lim f = 6$ и $\lim g = 3$, найдите $\lim \dfrac{f}{g}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Закон частного (предел знаменателя $3\neq0$): $\frac{6}{3}=2$.
Закон частного $\lim\frac fg=\frac LM$ требует, чтобы $M$, предел знаменателя, не был равен ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Если $M=0$ закон напрямую неприменим — возможно, у вас неопределенная форма.
Прямая подстановка: быстрый путь
- Для полинома или рациональной функции правила сложения дают один короткий путь: просто подставьте $c$.
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}(x^2-2x+1) = 3^2-2(3)+1 = 4$ — без таблиц и графиков.
- Прямая подстановка работает, когда функция определена и непрерывна в точке $c$.
- Это всегда первое, что стоит попробовать — это самый быстрый метод, когда он применим.
У многочлена нет сюрпризов
y = ax² + bx + c
Многочлены гладки везде — перетащите коэффициенты и увидите, почему подстановка $c$ (прямая подстановка) просто показывает высоту.
Вычислите $\displaystyle\lim_{x\to 2}(3x^2 - x + 4)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Прямая подстановка: $3(4)-2+4 = 14$.
Для каких пределов подстановка дает ответ немедленно?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Третий случай дает $\tfrac00$ (предел знаменателя $0$), поэтому подстановка не работает; остальные дают конечное значение сразу.
Когда подстановка застревает
- Подставив значение, вы можете получить $\dfrac{0}{0}$: неопределенную форму.
- Неопределенность не означает, что предел не существует — она означает, что одной лишь подстановки недостаточно, и требуется дополнительная работа (на следующем уроке).
- Остерегайтесь тонкостей правила частного: оно требует $M\neq0$. Если предел знаменателя равен $0$, правило не применяется напрямую.
- Поэтому: сначала попробуйте подстановку; если получается реальное число, задача решена; если получается $\tfrac00$, смените стратегию.
Прямая подстановка дает $\tfrac00$. Это означает...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac00$ неопределенно: это сигнал к выполнению алгебраических преобразований, а не окончательный ответ.
При встрече с новым пределом прямая подстановка — это разумный первый шаг для проверки.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Это самый быстрый метод при успешном применении; меняйте стратегию только если получается неопределенная форма.
$\dfrac{0}{0}$ — это неопределенная форма, а не «ноль» и не «не определено — значит DNE». Это сигнал о том, что предел скрыт, и его нужно упростить. Не указывайте $\tfrac00$ в качестве ответа и не делайте вывод, что предел не существует — $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$ при подстановке дает $\tfrac00$, но равно $4$.
Найдите $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2+3}{x+4}$.
- Предел числителя: $2(1)^2+3 = 5$. Предел знаменателя: $1+4 = 5$.
- Предел знаменателя равен $5\neq 0$, поэтому правило частного неприменимо (примечание: в оригинале ошибка логической связки, но сохранен контекст задачи на нахождение неопределенной формы).
- $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2+3}{x+4} = \dfrac{5}{5} = 1$ по правилу прямой подстановки.
Правила предельного перехода позволяют разложить предел относительно сумм, разностей, произведений и частных (для частного нужен ненулевой предел знаменателя). Для полиномов и рациональных функций это сводится к прямой подстановке — всегда пробуйте это первым. Результат в виде $\tfrac00$ — это неопределенная форма: не ответ, а сигнал к упрощению.