Функции порождения вероятностей
| English | Русский |
|---|---|
| discrete distribution/dɪˈskriːt ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | дискретное распределение |
| probability generating function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdʒenəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | функция порождения вероятностей |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | коэффициент |
| variance/ˈveərɪəns/ | дисперсией |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | производной |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | независимы |
Распределение в одной функции
- Дискретное распределение — это список вероятностей — неудобно манипулировать им.
- Функция порождающая вероятность (PGF) упаковывает весь список в одну аккуратную функцию, превращая сложные вероятностные суммы в простой анализ.
Лабораторная работа: функция порождения вероятностей
G(x) = p0 + p1 x + p2 x^2 + ...
Измените x и посмотрите, как ФПВ хранит вероятности в степенях x.
Определение PGF
- Для дискретной переменной $X$, принимающей значения $0, 1, 2, \dots$:
- Коэффициент при $t^x$ точно равен $P(X = x)$ — функция кодировать распределение.
Функция порождающая вероятность хранит все вероятности как коэффициенты
Функция порождения вероятностей X определяется как:
G(t) = E(tˣ) = Σ P(X=x) tˣ.
Среднее и дисперсия из производных
- Продифференцируйте и оцените при $t = 1$:
Разобран пример. $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$. Затем $G'(t) = 0.3 + 0.4t$, так что $E(X) = G'(1) = 0.3 + 0.4 = 0.7$.
X имеет G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t². Поскольку E(X) = G′(1) и G′(t) = 0.3 + 0.4t, чему равно E(X)?
G'(1) = 0.3 + 0.4(1) = 0.7.
Математическое ожидание находится из ФПВ по формуле E(X) = G′(______).
E(X) = G'(1).
Суммы независимых переменных
- Самое полезное свойство: PGF суммы независимых переменных является произведением их PGF:
- Это делает сложение независимых переменных (например, общая сумма нескольких кубиков) почти бесперебойным.
Для любой корректной ФПВ каково значение G(1)?
G(1) = Σ P(X=x) = 1, так как вероятности суммируются до 1.
ФПВ суммы двух независимых переменных равна произведению их ФПВ.
G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t) для независимых X и Y.
Проверьте, что это валидная PGF
$G(1)$ должно быть равно 1. Поскольку $G(1) = \sum P(X = x)$, валидная PGF всегда дает $G(1) = 1$ — быстрая проверка перед дифференцированием.
Вы поняли
- PGF: $G(t) = E(t^X) = \sum P(X=x)\,t^x$ (и $G(1) = 1$)
- $E(X) = G'(1)$; $\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - (G'(1))^2$
- PGF суммы независимых переменных является произведением их PGF