Непрерывные случайные величины (Дополнительно)
| English | Русский |
|---|---|
| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | непрерывная переменная |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | функция плотности вероятности |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | математическое ожидание |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | функция распределения |
| median/ˈmiːdiːən/ | медианой |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | перцентиль |
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | квартиль |
Вероятность как площадь
- Для непрерывной переменной — высоты, времени ожидания — ни одно точное значение не имеет вероятности; их бесконечно много.
- Вместо этого вероятность — это площадь под кривой, функция плотности вероятности $f(x)$. Вся площадь равна $1$.
Функция плотности и математическое ожидание
- $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, и общая площадь $\int f = 1$.
- Среднее значение любой функции от $X$:
Вероятности — это площади под f(x); общая площадь по всему диапазону равна ровно 1.
Непрерывные случайные величины
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
Для непрерывной переменной вероятность равна площади под кривой плотности.
Чему должна быть равна общая площадь под функцией плотности вероятности?
Функция плотности вероятности интегрируется до 1 на всем своём диапазоне.
Функция распределения
- ФР (CDF) накапливает вероятность слева направо:
- Она изменяется от $0$ до $1$, а дифференцирование восстанавливает плотность: $f(x) = F'(x)$.
ФР $F(x)$ растет от 0 до 1; медиана определяется по значению, где она достигает высоты 0.5
Функция распределения F(x) даёт:
F(x) = P(X ≤ x), накопленная площадь до точки x.
Дифференцирование функции распределения даёт плотность: f(x) = F-______(x).
f(x) = F′(x): плотность есть производная функции распределения.
Разбор примера — медиана
- Медиана $m$ делит площадь пополам: $F(m) = 0.5$.
- Для $f(x) = \tfrac12 x$ на $[0, 2]$: $F(x) = \tfrac14 x^2$, следовательно, $\tfrac14 m^2 = 0.5$ дает $m = \sqrt2 \approx 1.41$.
Перцентили работают аналогично. Нижний квартиль решает $F(x) = 0.25$; 90-й перцентиль решает $F(x) = 0.9$. Всегда приравнивайте $F$ к нужной доле.
Для f(x) = ½x на [0,2], F(x) = ¼x². Медиана решает уравнение ¼m² = 0.5. Каково значение m? (2 знака после запятой)
¼m² = 0.5 → m² = 2 → m = √2 ≈ 1.41.
Медиана m непрерывного распределения удовлетворяет условию:
Медиана делит площадь пополам: F(m) = 0.5.
Плотность — это не вероятность
$f(x)$ может превышать 1. Плотность — это не вероятность — только площадь является таковой. Высокий узкий пик может иметь $f(x) > 1$, пока общая площадь остается $1$.
- Используйте функции распределения (CDF) для нахождения вероятностей и перцентилей, а также CFD связанной переменной.
Плотность вероятности f(x) может быть больше 1.
Область под графиком должна быть ≤ 1; сама плотность может превышать 1 на узком интервале.
Вы поняли
- вероятность = площадь под $f(x)$; общая площадь $= 1$ (сама плотность может превышать 1)
- ФР $F(x) = P(X \leq x) = \int f$, и $f = F'$
- медиана решает $F(m) = 0.5$; перцентили решают $F(x) =$ эту долю