AA: учебные материалы курса
Версия: Первый этап оценки 2021
Это оригинальные учебные заметки, и каждый урок помечен своим уровнем сложности.
1 · Точная арифметика и оценивание
Можно ли упаковать всё без остатка?
- Поставщик упаковывает 72 карандашей и 90 ручек в одинаковые подарочные пакеты. Как избежать остатков?
- В этом уроке изучается простой множитель: простое число, которое делит целое число нацело.
Метод решения
- Разложение на простые множители выявляет общую структуру.
- Для НОД используйте наименьшие общие степени простых множителей, а для НКК — наибольшие.
- Оцените результат перед вычислением; используйте скобки для сохранения порядка выполнения операций.
Разобранный пример
$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$
Пример
72=2^3×3^2 и 90=2×3^2×5. Их НОД равен 2×9=18. Сделайте 18 пакетов, используя 4 карандашей и 5 ручек в каждом. Их НОК составляет 2^3×3^2×5=360.
Где допускаются ошибки
- НОД делит оба числа; НКК является кратным обоим числам.
- Они отвечают на разные вопросы.
- Десятичная оценка не является точной дробью.
Внимание
Неверно: НОД двух положительных целых чисел больше каждого из них. НОД делит оба числа, поэтому он никогда не может быть больше меньшего: НОД 72 и 90 равен 18.
Применение
- Для контрольной работы без калькулятора сохраняйте дроби точными и показывайте сокращение.
- Для контрольной работы с калькулятором введите полное выражение и сравните результат с вашей оценкой.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
Ключевая идея
- Простой множитель: простое число, которое делит данное целое число нацело.
- Разложение на простые множители выявляет общую структуру.
- Обратите внимание: НОД делит оба числа; НКК является кратным обоим числам.
1 · Показатели, корни и стандартный вид
Насколько мала микроскопическая длина?
- Микроскоп фиксирует длину 0.000072 метров. Компактная запись должна сохранять корректный порядок величины.
- В этом уроке изучается степень: показатель, в который возводится основание.
Метод решения
- Для одного и того же положительного основания при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются.
- Отрицательный показатель означает обратную величину; дробный показатель представляет корень.
- Стандартная запись имеет вид 1≤a<10.
Разобранный пример
$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
Пример
0.000072=7.2×10^(-5). Также 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Упростите √72=6√2, затем рационализируйте 1/√2=√2/2.
Где допускаются ошибки
- Законы показателей не превращают сумму в одну степень: 2^3+2^4=24, а не 2^7.
- Не округляйте иррациональное число, если требуется точный ответ.
Внимание
Неверно: Для любого положительного a выполняется равенство a^2+a^3 = a^5. Законы показателей позволяют складывать степени только при умножении: 2²+2³=12, но 2⁵=32.
Применение
- Проверьте степени десятки на соответствие исходному значению.
- Используйте иррациональности для точной геометрии и округляйте только окончательную длину, если в задании требуется десятичная дробь.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Показатель: степень, в которую возводится основание.
- Для одного и того же положительного основания при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются.
- Обратите внимание: свойства показателей не превращают сумму в одну степень: 2^3+2^4=24, а не 2^7.
1 · Числовые последовательности, ряды и рекуррентность
Изменение складывается или умножается?
- План накопления добавляет ¥30 каждую неделю; модель роста населения увеличивается на 5% ежегодно. Равные разности и равные отношения требуют разных моделей.
- Этот урок посвящён общему отношению: постоянному множителю между последовательными членами геометрической прогрессии.
Метод решения
- Для арифметической прогрессии u_n=a+(n-1)d и S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
- Для геометрической прогрессии u_n=ar^(n-1) и S_n=a(1-r^n)/(1-r).
- Бесконечная геометрическая сумма существует только если |r|<1.
Разобранный пример
$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$
Пример
Для a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 и S_8=8(10+21)/2=124. Для a=12, r=1/2, сумма бесконечного ряда S_∞=12/(1-1/2)=24. Для рекуррентности u_(n+1)=2u_n+1 при u_1=1, следующие члены равны 3,7,15.
Где допускаются ошибки
- Первый член имеет индекс 1, поэтому показатель степени равен n-1.
- Последовательность — это список; ряд — это сумма.
- Геометрическая последовательность может менять знак и всё же сходиться.
Внимание
Неверно: У любой геометрической суммы есть конечный предел. Предел к бесконечности существует только при −1<r<1; при r=2 члены растут неограниченно.
Применение
- Объясните, оправдывает ли контекст аддитивные или мультипликативные изменения.
- В финансах различайте единовременный взнос и поток взносов перед выбором формулы суммы.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Общий множитель: Постоянный множитель между последовательными членами геометрической последовательности.
- Для арифметической прогрессии u_n=a+(n-1)d и S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
- Следите за: первый член имеет индекс 1, поэтому показатель степени равен n-1.
1 · Проценты, отношения и пропорциональное рассуждение
Можно ли восстановить исходную цену?
- Пальто подешевело на 20% до ¥240. Скидка применяется к первоначальной цене, а не к цене продажи.
- Этот урок посвящён множителю: фактору, который выполняет процентное изменение за один шаг умножения.
Метод решения
- Увеличение на p% имеет множитель 1+p/100; уменьшение имеет множитель 1-p/100.
- Обратная операция с процентом выполняется делением на множитель.
- В пропорции сначала найдите общее количество частей.
Разобранный пример
$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$
Пример
Пусть исходная цена равна P. Модель: цена продажи = 0.8P. Следовательно, P = 240/0.8 = 300. Последующее увеличение на 20% приводит к значению 240×1.2=288, поэтому два изменения не компенсируют друг друга.
Где допускаются ошибки
- Процент использует указанную базу.
- Вычитание процентов теряет эту базу.
- Для сложного изменения перемножайте множители; не складывайте проценты.
Внимание
Not true: A 20% decrease followed by a 20% increase restores the starting price. The 20% increase is taken of a smaller amount: 100×0.8×1.2=96, not 100.
Применение
- Для прямой пропорциональности используйте y=kx; для обратной пропорциональности используйте y=k/x.
- Вычислите k из известной пары значений перед использованием нового значения.
- Укажите, что вы держали постоянным.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Множитель: фактор, который выполняет процентное изменение при умножении.
- Увеличение на p% имеет множитель 1+p/100; уменьшение имеет множитель 1-p/100.
- Обратите внимание: проценты используются с указанной базой.
1 · Комплексные числа и корни
Что, если корень не является вещественным?
- Уравнение x²+1=0 не имеет действительных корней. Расширение числовой системы позволяет представлять и вычислять оба корня.
- На этом уроке изучается комплексно-сопряженное число: число, полученное изменением знака мнимой части.
Метод решения
- Запишите z=a+bi, где i²=-1.
- Сопряжённое число равно a-bi, а z умножить на его сопряжённое = a²+b².
- Модуль равен √(a²+b²); аргумент требует учёта правильной четверти.
- Сопряжённые корни встречаются в многочленах с действительными коэффициентами.
Разобранный пример
$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$
Пример
Для z=3+4i, |z|=5, а сопряженное равно 3-4i. Обратное значение равно (3-4i)/25. Для уравнения x²-6x+13=0 корнями являются 3±2i. Умножение на сопряженное делает знаменатель комплексного числа вещественным.
Где допускаются ошибки
- Корень из суммы не равен сумме корней.
- Один арктангенс может вернуть неверную четверть.
- Не путайте модуль с квадратом модуля.
Внимание
Неверно: Для комплексного числа a+bi его модуль равен a+b. Модуль равен √(a²+b²): для числа 3+4i он составляет 5, а не 7.
Применение
- Нарисуйте действительную ось горизонтально, а мнимую — вертикально.
- Для произведений модули перемножаются, а аргументы складываются; степени обобщают эту геометрическую закономерность согласно теореме Муавра.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Комплексно-сопряженное число: Число, полученное изменением знака мнимой части исходного числа.
- Запишите z=a+bi, где i²=-1.
- Обращайте внимание: квадратный корень из суммы не равен сумме квадратных корней.
1 · Двоичное разложение и допустимые приближения
Как небольшое изменение влияет на степень?
- Небольшое изменение измерения влияет на степень величины. Разложение может показать величину первого и второго эффектов.
- В этом уроке изучается биномиальный коэффициент: количество способов выбрать определенное число объектов из множества.
Метод решения
- Для положительного целого n выражение (a+b)^n представляет собой конечное биномиальное разложение.
- Для дробного n разложите (1+x)^n как 1+nx+n(n-1)x²/2+... при |x|<1.
- Вынесите константы перед применением этой формы.
Разобранный пример
$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$
Пример
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. Для (1+x)^(-1), первые три члена равны 1-x+x²; при x=0.1 это дает 0.91 против точного значения 1/1.1≈0.909091.
Где допускаются ошибки
- Разложение по 2x требует |2x|<1 для бесконечного ряда, а не просто |x|<1.
- Разложения для положительных целых степеней конечны и не имеют этого ограничения сходимости.
Внимание
Неверно: Каждое биномиальное разложение является конечным многочленом, включая степени, не являющиеся положительными целыми числами. Для отрицательной или дробной степени разложение представляет собой бесконечный ряд, справедливый только при |x|<1.
Применение
- Указывайте область допустимости значений рядом с приближением.
- Сохраните достаточное количество членов для обеспечения требуемой точности и различайте коэффициент и весь член, содержащий x.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Биномиальный коэффициент: Число способов выбрать заданное количество объектов из множества.
- Для положительного целого n выражение (a+b)^n представляет собой конечное биномиальное разложение.
- Обратите внимание: разложение по 2x требует |2x|<1 для бесконечного ряда, а не просто |x|<1.
1 · Ряды, конечные разности и разложения Тейлора
Может ли многочлен заменить экспоненту вблизи?
- Вблизи известной точки сложную функцию можно заменить полиномиальным приближением. Для этого приближения необходим центр и допустимый масштаб.
- Эта тема изучает полином Тейлора: многочлен, составленный из производных функции в выбранном центре.
Метод решения
- Относительно x=a: f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... при условии сходимости разложения.
- При a=0 это разложение Маклорена.
- Конечные суммы также могут упрощаться методом телескопического сокращения или по стандартным формулам суммирования.
Разобранный пример
$$f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots$$
Пример
Первые три члена e^x равны 1+x+x²/2. При x=0.1 это дает 1.105, что близко к e^0.1≈1.105170. Для суммы k² от k=1 до 5, выражение n(n+1)(2n+1)/6 дает 5×6×11/6=55.
Где допускаются ошибки
- Факториал находится в знаменателе каждого коэффициента Тейлора.
- Центр разложения не обязательно равен нулю.
- Аппроксимация, точная вблизи центра, может быть неточной далеко от него.
Внимание
Неверно: Многочлен Тейлора совпадает с исходной функцией для любого значения аргумента. Многочлен Тейлора является приближением; обычно он точен только вблизи своего центра.
Применение
- Для телескопической суммы запишите несколько членов и определите оба сохранившихся края.
- Для аппроксимации Тейлора укажите её порядок и сравните с известным значением или оценкой остатка, если требуется.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Многочлен Тейлора: многочлен, составленный из производных функции в выбранном центре.
- Относительно x=a: f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... при условии сходимости разложения.
- Обратите внимание: факториал должен находиться в знаменателе каждого коэффициента Тейлора.
2 · Области определения, обратные функции и композиция
Какие входные данные допускаются?
- Модель квадратного корня возвращает действительный результат только для некоторых входных значений. Сама формула не определяет полную функцию.
- В этом уроке изучается область определения: множество допустимых входных значений функции.
Метод решения
- Укажите область определения и множество значений.
- Для нахождения обратной функции сначала убедитесь, что функция является взаимно однозначной на своей области определения.
- Композиция fg означает сначала применение g, затем f; промежуточный результат должен допустимым входным значением для f.
Разобранный пример
$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$
Пример
Для f(x)=√(x-2), x≥2 и область значений y≥0. Из y=√(x-2) следует x=y²+2. Таким образом, обратная функция f(x)=x²+2 при x≥0. Для g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
Где допускаются ошибки
- Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних решений.
- Ограничение области определения параболы необходимо перед тем, как утверждать существование обратной функции.
- Горизонтальный сдвиг внутри f имеет противоположный знак по сравнению с движением графика.
Внимание
Неверно: Каждая квадратичная функция на множестве всех действительных чисел имеет обратную функцию. Квадратичная функция на всех действительных числах является многозначной (f(1)=f(−1) для x²), поэтому её область определения должна быть ограничена сначала.
Применение
- Проверьте f(f⁻¹(x))=x на области определения обратной функции.
- Используйте набросок, чтобы проверить, пересекает ли горизонтальная линия исходный график более одного раза.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Область определения: Множество допустимых входных значений функции.
- Укажите область определения и множество значений.
- Следите за: возведение в квадрат может порождать посторонние решения.
2 · Экспоненциальные функции, логарифмы и моделирование
Почему модель убывания остается положительной?
- Концентрация лекарства уменьшается на одинаковый процент каждый час. Постоянное вычитание со временем привело бы к отрицательному значению.
- В этом уроке изучается период полураспада: время, за которое убывающая величина снижается до половины своего начального значения.
Метод решения
- Для функции y=Ae^(kt) параметр k является коэффициентом пропорциональной скорости.
- Логарифмирование дает ln y = ln A + kt.
- Логарифмы определены только для положительных аргументов, и log(x+y) ≠ log x + log y.
Разобранный пример
$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$
Пример
Если y=80e^(-0.2t), то при y=40 получаем e^(-0.2t)=1/2. Отсюда t=ln2/0.2≈3.466. Для 3^x=20, x=ln20/ln3. Построение графика зависимости ln y от t линеаризует эту экспоненциальную модель.
Где допускаются ошибки
- Подогнанная экспонента — это модель, а не гарантия.
- Укажите единицы измерения времени и диапазон применения.
- Отрицательное k описывает распад; отрицательное начальное значение обычно противоречит контексту задачи.
Внимание
Неверно: При положительных x и y ln(x+y)=ln x+ln y. У логарифма суммы нет простого правила; правило произведения имеет вид ln(xy)=ln x+ln y.
Применение
- Сравните фактические наблюдения с моделью.
- Систематические отклонения могут указывать на изменение условий.
- В отчете объясните физический смысл скорости и начального значения, а не просто приводите формулу.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Период полураспада: Время, за которое убывающая величина уменьшается до половины своего начального значения.
- Для функции y=Ae^(kt) параметр k является коэффициентом пропорциональной скорости.
- Обращайте внимание: подогнанная экспонента — это модель, а не гарантия.
3 · Угловые рассуждения, подобие и метрические задачи
Масштабируется ли объем как длина?
- У модели длины составляют одну треть от реального объекта. Во сколько раз меньше его площадь и объем?
- Этот урок посвящен коэффициенту масштабирования: множителю, связывающему соответствующие длины в подобных фигурах.
Метод решения
- Для подобных фигур с масштабным коэффициентом длин k площади масштабируются как k², а объемы — как k³.
- Явно указывайте причины для углов.
- Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания.
Разобранный пример
$$\frac{A_2}{A_1}=k^2,\qquad \frac{V_2}{V_1}=k^3$$
Пример
Если коэффициент отношения модельной длины к реальной равен 3, то модельная площадь 12 см² соответствует реальной площади 12×3²=108 см², а модельный объём 8 см³ соответствует реальному объёму 8×3³=216 см³. Цилиндр с r=3, h=5 имеет объём πr²h=45π.
Где допускаются ошибки
- Равенство углов само по себе устанавливает подобие, а не равенство размеров.
- Используйте соответствующие длины в одинаковом порядке.
- Конвертируйте линейные единицы перед вычислением площади или объема, либо правильно возведите коэффициент конвертации в квадрат/куб.
Внимание
Неверно: Удвоение каждой длины твердого тела удваивает его объем. Объем масштабируется кубом коэффициента длин: удвоение каждой длины умножает объем на 8.
Применение
- Геометрическое доказательство должно называть соответствующую теорему, идентифицировать равный угол или отношение и сделать вывод.
- Масштабный чертеж является доказательством только тогда, когда задание допускает измерение.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Масштабный коэффициент: Множитель, связывающий соответствующие длины в подобных фигурах.
- Для подобных фигур с масштабным коэффициентом длин k площади масштабируются как k², а объемы — как k³.
- Обращайте внимание: равенство углов само по себе устанавливает подобие, а не равенство размеров.
3 · Прямоугольные треугольники и произвольные треугольники
На какую сторону нужно поставить лестницу?
- Лестница достигает высоты 4 м, а её основание находится на расстоянии 3 м от стены. Какие стороны известны, и какой угол нам нужен?
- Этот урок посвящён гипотенузе: стороне, лежащей напротив прямого угла в прямоугольном треугольнике.
Метод решения
- В прямоугольном треугольнике a²+b²=c²; sinθ=противолежащий/гипотенуза, cosθ=прилежащий/гипотенуза и tanθ=противолежащий/прилежащий.
- Для других треугольников используйте теорему синусов или косинусов, либо площадь=ab sin C/2.
Разобранный пример
$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$
Пример
Длина лестницы c=√(3²+4²)=5 м. Её угол с землёй удовлетворяет условию tanθ=4/3, следовательно θ≈53.1°. При наличии двух сторон 6 и 8, охватывающих угол 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.
Где допускаются ошибки
- Обозначайте стороны относительно выбранного угла.
- Теорема Пифагора требует наличия прямого угла.
- Ошибка режима углов на калькуляторе может дать правдоподобный, но неверный результат.
- Сохраняйте нерасчетные значения для последующих шагов.
Внимание
Неверно: Теорема Пифагора применима к любому треугольнику, включая треугольники без прямого угла. Теорема Пифагора требует прямого угла; для других треугольников используйте теорему косинусов.
Применение
- Используйте план или вид спереди для трехмерной задачи перед применением теоремы о треугольнике.
- Объясните, почему выбранный треугольник содержит требуемую длину или угол.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Гипотенуза: Сторона, лежащая напротив прямого угла в прямоугольном треугольнике.
- В прямоугольном треугольнике a²+b²=c²; sinθ=противолежащий/гипотенуза, cosθ=прилежащий/гипотенуза и tanθ=противолежащий/прилежащий.
- Следите за тем: обозначайте стороны относительно выбранного угла.
3 · Радианы, тождества и тригонометрические уравнения
Какое расстояние проходит обод?
- Вращающееся колесо описывает дугу. Радианы позволяют напрямую связать угол с пройденным расстоянием по ободу.
- Этот урок посвящён радиану: углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу.
Метод решения
- Для угла θ в радианах длина дуги s=rθ, а площадь сектора A=r²θ/2.
- Используйте sin²θ+cos²θ=1 и тождества для углов, чтобы упростить или решить уравнение.
- Перечислите все решения на указанном интервале.
Разобранный пример
$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$
Пример
Для r=4 и θ=π/3, s=4π/3 и A=8π/3. Решая sin x=1/2 на 0≤x<2π, получаем x=π/6 и 5π/6. Для sin2x=1/2, решите сначала на 0≤2x<4π, прежде чем делить на 2.
Где допускаются ошибки
- Обратный синус калькулятора дает только одно главное значение.
- Он не выдает всех решений.
- Деление на sin x может привести к потере решений, где sin x=0; проверьте этот случай сначала.
Внимание
Неверно: Главное значение обратного синуса — единственное решение за полный оборот. Синус принимает большинство значений дважды за полный оборот: sin x=0.5 имеет 30° и 150°.
Применение
- Выберите тождество, которое сводит уравнение к одной тригонометрической функции.
- Сохраняйте точные знакомые углы по возможности и проверяйте каждое решение против исходного уравнения.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Радиан: угол, образованный дугой, длина которой равна радиусу.
- Для угла θ в радианах длина дуги s=rθ, а площадь сектора A=r²θ/2.
- Обращайте внимание: обратный синус калькулятора дает только одно главное значение.
3 · Векторы и геометрия преобразований
Почему перемещение меньше пройденного пути?
- Проходя 4 м на восток и 3 м на север, получаем вектор перемещения 5 м, хотя пройденный путь составляет 7 м.
- Этот урок посвящён равнодействующей: векторной сумме, представляющей суммарное перемещение или силу.
Метод решения
- Сложите соответствующие компоненты векторов.
- Вектор перемещения из точки A в точку B равен OB минус OA.
- Параллельные векторы являются скалярными кратными.
- Вектор имеет модуль и направление; расстояние является скаляром.
Разобранный пример
$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$
Пример
При a=(4,1) и b=(1,3), a+b=(5,4). Их скалярное произведение равно a·b=4×1+1×3=7. Величина (модуль) вектора a равна √17. Для A=(1,2), B=(5,5), AB=(4,3) и |AB|=5.
Где допускаются ошибки
- Порядок вычитания важен: BA = −AB.
- Доказательство параллельности требует наличия отношения скалярного кратного; одного чертежа недостаточно.
- Отрицательное увеличение меняет положение относительно его центра.
Внимание
Неверно: AB и BA имеют одинаковые компоненты. BA направлен противоположно AB, поэтому BA=−AB: каждый компонент меняет знак.
Применение
- При параллельном переносе каждая точка использует один и тот же вектор перемещения.
- Для сложных задач на прямые различайте радиус-вектор и направляющий вектор, решая параметрические уравнения последовательно.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Результирующий: Векторная сумма, представляющая совокупное перемещение или силу.
- Сложите соответствующие компоненты векторов.
- Обращайте внимание: порядок вычитания имеет значение: BA=-AB.
4 · Сводка данных, гистограммы и интерпретация
Может ли одно среднее значение рассказать всю историю?
- Две группы имеют одинаковую медиану, но разный разброс. Одного сводного показателя недостаточно для описания как положения, так и стабильности.
- На этом уроке изучается плотность частоты: частота, делённая на ширину класса, используется как высота гистограммы.
Метод решения
- Сравните соответствующую среднюю величину и разброс в контексте задачи.
- Гистограмма использует площадь для частоты, поэтому высота = частота / ширина класса.
- Оценки для интервальных данных предполагают наличие репрезентативных значений внутри интервалов.
Разобранный пример
$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$
Пример
Класс от 10 до 20 с частотой 30 имеет плотность 30/10=3. Класс от 20 до 40 с частотой 20 имеет плотность 20/20=1. Его более широкая полоса не должна восприниматься как большая плотность. Для значений 2,4,4,6,9 медиана равна 4, а среднее равно 5.
Где допускаются ошибки
- Самый высокий столбец гистограммы не обязательно содержит наибольшее количество наблюдений.
- Среднее значение для интервальных данных является оценкой.
- Корреляция не доказывает причинно-следственную связь, а экстраполяция выходит за пределы наблюдаемого диапазона.
Внимание
Неверно: Высота столбца гистограммы равна частоте даже при неравных ширине классов. При неравных ширине классов высота соответствует плотности частоты, а частота — это площадь столбца.
Применение
- Выберите представление данных, соответствующее типу данных.
- Дайте как числовое сравнение, так и его интерпретацию для генеральной совокупности; не преувеличивайте точность за пределы возможностей выборки.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Плотность частоты: Частота, делённая на ширину класса, используется как высота гистограммы.
- Сравните соответствующую среднюю величину и разброс в контексте задачи.
- Учитывайте: самая высокая столбец гистограммы не обязательно содержит наибольшее количество наблюдений.
4 · Вероятность, деревья решений и условное рассуждение
Что меняется после первого извлечения?
- В мешке находятся 3 красных и 2 синих фишек. Извлечение двух фишек без возвращения изменяет вероятность появления второго цвета.
- Этот урок посвящен условной вероятности: вероятности события при ограничении выборочного пространства заданным условием.
Метод решения
- Умножайте вдоль ветви дерева и складывайте независимые ветви.
- При возврате состав остаётся неизменным.
- Условная вероятность P(A при B)=P(A∩B)/P(B), при P(B)>0.
Разобранный пример
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$
Пример
Без возвращения P(два красных)=3/5×2/4=3/10. P(по одному каждого)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. Если P(A∩B)=0.12 и P(B)=0.3, то P(A при условии B)=0.4.
Где допускаются ошибки
- Несовместные события означают отсутствие пересечения; независимые события означают, что знание одного события не изменяет вероятность другого.
- Два непересекающихся события с положительной вероятностью не являются независимыми.
Внимание
Неверно: Непересекающиеся события с положительными вероятностями должны быть независимыми. Непересекающиеся события с положительными вероятностями зависимы: если одно происходит, другое не может, поэтому P(A и B)=0≠P(A)P(B).
Применение
- Двусторонняя таблица делает видимым ограниченный знаменатель.
- Перед использованием произведения P(A)P(B) обоснуйте независимость из контекста или предоставленной информации.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Условная вероятность: Вероятность события после ограничения пространства элементарных исходов указанным условием.
- Умножайте вдоль ветви дерева и складывайте независимые ветви.
- Обращайте внимание: «непересекающиеся» означает отсутствие пересечения; «независимые» означает, что знание одного события не изменяет вероятность другого.
4 · Биномиальное, нормальное и распределение Пуассона
Что делает подсчет предсказуемым?
- Контролер качества подсчитывает бракованные изделия. Это число является случайным, но модель может описать его вероятный диапазон.
- Этот урок посвящён математическому ожиданию: среднему арифметическому случайной величины с учётом весов вероятности.
Метод решения
- Биномиальная модель требует фиксированного n, независимых испытаний, двух исходов и постоянной p.
- E(X)=np и Var(X)=np(1-p).
- Для нормальной модели используйте z=(x-μ)/σ.
- Модель Пуассона описывает количество событий при постоянной интенсивности и соблюдении условий независимости.
Разобранный пример
$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$
Пример
Для X биномиально распределенной(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 и Var(X)=0.8. Для нормальной величины с μ=100, σ=15 значение 130 имеет z=2. Среднее значение распределения Пуассона 3 в час дает среднее 6 за два часа.
Где допускаются ошибки
- Не каждое количество является биномиальным: изменение p или зависимость могут нарушить его применимость.
- Для непрерывной переменной вероятность точного значения равна нулю.
- Поправка на непрерывность важна при аппроксимации дискретного распределения нормальным.
Внимание
Неверно: Любое количество успехов имеет биномиальное распределение независимо от зависимости. Биномиальная модель требует независимых испытаний с фиксированной вероятностью; зависимые испытания нарушают её.
Применение
- Запишите событие в виде неравенства перед использованием функций распределения калькулятора.
- Различайте P(X<k), P(X≤k) и вероятность дополнения хвоста.
- Укажите допущения в контексте задачи.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
Ключевая идея
- Математическое ожидание: Среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям.
- Биномиальная модель требует фиксированного n, независимых испытаний, двух исходов и постоянной p.
- Обращайте внимание: не каждое количество следований является биномиальным; изменение p или наличие зависимости может сделать это предположение неверным.
5 · Производные и стационарные точки
Что такое наклон в одной точке?
- Кривая дорога имеет разные наклоны в разных точках. Средний градиент не может описать каждую точку.
- Этот урок посвящен производной: мгновенной скорости изменения, а также градиенту касательной.
Метод решения
- Для y=ax^n производная dy/dx=anx^(n-1).
- Стационарная точка удовлетворяет условию dy/dx=0.
- Проверьте знак производной или вторую производную, если она отлична от нуля, чтобы классифицировать точку.
Разобранный пример
$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$
Пример
Для y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. При x=1, градиент равен 0, а y=-2. Вторая производная равна 6x, положительна при x=1, следовательно, это локальный минимум. При x=-1, y=2, а вторая производная отрицательна, что дает локальный максимум.
Где допускаются ошибки
- Нулевая производная не всегда означает максимум или минимум: y=x³ является стационарной точкой при 0, но продолжает возрастать.
- Граница области определения также может порождать экстремальное значение на ограниченном множестве.
Внимание
Неверно: Каждая точка с нулевой производной является локальным максимумом или минимумом. Нулевая производная также может быть точкой перегиба: y=x³ при x=0 ни максимум, ни минимум.
Применение
- На уровне GCSE/IGCSE используйте только диапазон полиномов, разрешённый для данного уровня; не добавляйте правила сложной функции, произведения или частного там.
- На продвинутом уровне связывайте производную со скоростями и оптимизацией, учитывая корректную область определения.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Производная: мгновенная скорость изменения, также градиент касательной.
- Для y=ax^n производная dy/dx=anx^(n-1).
- Обращайте внимание: нулевая производная не всегда означает максимум или минимум: у=x³ имеет стационарную точку в 0, но продолжает возрастать.
5 · Интегралы, площадь и накопление
Сколько накопилось изменений?
- График скорости показывает движение в конкретный момент. Как восстановить перемещение, накопленное за время?
- Этот урок посвящен первообразной: функции, производная которой равна заданному подынтегральному выражению.
Метод решения
- Для n≠-1 интеграл от ax^n равен ax^(n+1)/(n+1)+C.
- Определённый интеграл — это знакочисленное накопление.
- Разбивайте на интервалы при смене знака, если требуется найти полную площадь или пройденный путь.
Разобранный пример
$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$
Пример
Для v(t)=3t²-3 на промежутке 0≤t≤2, перемещение=[t³-3t]_0^2=2. Поскольку скорость меняет знак при t=1, путь=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. Константы сокращаются только при вычислении определенного интеграла.
Где допускаются ошибки
- Интеграл от 1/x равен ln|x|+C, а не формула степенного правила для n=-1.
- Знакочисленная площадь может быть равна нулю, даже если полная заключённая площадь положительна.
Внимание
Неверно: Определённый интеграл равен полной положительной площади, даже когда график пересекает ось. Площадь ниже оси учитывается как отрицательная, поэтому определённый интеграл может быть меньше общей площади или даже равен нулю.
Применение
- Определите, что означает интеграл, и укажите правильные единицы измерения.
- Скорость, измеренная в секунду, интегрируется до исходной величины, а не до другой скорости.
- Продифференцируйте первообразную, чтобы проверить её.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Первообразная: Функция, производная которой совпадает с заданным подынтегральным выражением.
- Для n≠-1 интеграл от ax^n равен ax^(n+1)/(n+1)+C.
- Обратите внимание: интеграл от 1/x равен ln|x|+C, а не формула степенного правила для n=-1.
5 · Цепное правило, произведение, частное и неявное дифференцирование
Меняется ли также внутреннее выражение?
- Кривая затрат представляет собой степень изменяющегося выражения. Дифференцирование внешней степени отдельно упускает скорость изменения её входного значения.
- Этот урок посвящен правилу сложной функции: правилу, которое умножает внешнюю производную на внутреннюю производную для составной функции.
Метод решения
- Для y=f(g(x)): y′=f′(g(x))·g′(x).
- Для произведения uv: дифференцируйте по формуле u′v+uv′.
- Для дроби u/v: используйте (u′v−uv′)/v², где v≠0.
Разобранный пример
$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$
Пример
Для y=(3x+1)^4, производная y'=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. При x=0 наклон равен 12. Для уравнения x²+y²=25 дифференцируем неявно: 2x+2y y'=0, откуда y'=-x/y при y≠0.
Где допускаются ошибки
- Производная произведения не равна произведению производных.
- При неявном дифференцировании каждая продифференцированная функция от y дает множитель dy/dx.
- Знаменатель частного возводится в квадрат.
Внимание
Неверно: Производная u(x)v(x) не равна u′·v′. Правило произведения: (uv)′=u′v+uv′; для x·x производная равна 2x, а не 1×1=1.
Применение
- Перед дифференцированием выберите удобную форму: раскрытие скобок короткого многочлена может быть проще.
- Для связанных скоростей: запишите соотношение в символах, продифференцируйте по времени, затем подставьте измеренные значения.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Правило сложной функции: правило умножения внешней производной на внутреннюю производную для составной функции.
- Для y=f(g(x)): y′=f′(g(x))·g′(x).
- Обращайте внимание: производная произведения не равна произведению производных.
5 · Метод замены, интегрирование по частям и разложение на простейшие дроби
Можно ли интегрировать два множителя отдельно?
- Простой на вид продукт, такой как xe^x, нельзя проинтегрировать, интегрируя каждый множитель отдельно.
- Этот урок посвящен интегрированию по частям: методу интегрирования, основанному на производной произведения.
Метод решения
- Используйте метод замены переменной, если внутренний производный множитель выступает в качестве множителя.
- По частям: интеграл u·v' = uv - интеграл u'·v.
- Для рациональной функции сначала выполните деление, если необходимо, затем разложите на простейшие дроби.
Разобранный пример
$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$
Пример
Для интеграла ∫xe^x dx примите u=x и v'=e^x. Тогда интеграл равен xe^x-e^x+C. Для интеграла 2x/(x²+1) dx, сделайте подстановку w=x²+1, dw=2x dx; ответ: ln(x²+1)+C.
Где допускаются ошибки
- Правильный выбор u и v' важен: оставшийся интеграл должен стать проще.
- При определённой замене либо измените пределы интегрирования, либо вернитесь к x перед применением исходных пределов.
Внимание
Неверно: Интеграл произведения равен произведению отдельных интегралов. Произведение требует применения метода, такого как интегрирование по частям или замена: ∫x·x dx=x³/3, а не (x²/2)(x²/2).
Применение
- Проверьте дифференцированием.
- For volumes of revolution around the x-axis use V=π integral y² dx; do not confuse the square of a function with the integral of the function.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Интегрирование по частям: Метод интегрирования, основанный на формуле производной произведения.
- Используйте метод замены переменной, если внутренний производный множитель выступает в качестве множителя.
- Следите за: правильный выбор u и v' важен, так как оставшийся интеграл должен упроститься.
5 · Дифференциальные уравнения и численные решения
Что определяет начальное значение?
- Скорость растущей популяции пропорциональна её текущему размеру. Уравнение скорости описывает целое семейство решений, пока не задано начальное значение популяции.
- Этот урок изучает начальное условие: указанное значение, которое выбирает конкретное решение из семейства.
Метод решения
- Для dy/dx=ky разделите переменные: dy/y=k dx, получая y=Ae^(kx).
- Используйте начальное условие для нахождения A.
- Метод Эйлена использует формулу y_anged=y+h·f(x,y) с выбранным шагом h.
Разобранный пример
$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$
Пример
При dy/dx=0.5y и y(0)=2 имеем y=2e^(0.5x). Метод Эйлена с h=0.2 дает y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 и y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. Точное второе значение составляет приблизительно 2.4428.
Где допускаются ошибки
- Начальное условие определяет постоянную интегрирования; оно не заменяет процесс интегрирования.
- Деление на y может привести к потере равновесного решения y=0.
- Точность метода Эйлера зависит от шага и уравнения.
Внимание
Неверно: Каждый размер шага дает одинаковое приближение по методу Эйлера. Метод Эйлера зависит от размера шага; меньшие шаги обычно дают более точный результат.
Применение
- Для линейных дифференциальных уравнений второго порядка объедините общее решение однородного уравнения с подходящим частным решением, затем примените требуемые начальные условия.
- Это раздел Further Pure; проверьте соответствующий модуль.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Начальное условие: заданное значение, которое выбирает конкретное решение из семейства.
- Для dy/dx=ky разделите переменные: dy/y=k dx, получая y=Ae^(kx).
- Следите за: начальное условие определяет постоянную интегрирования; оно не заменяет процесс интегрирования.
IA · Планирование математического исследования
Что делает исследование математическим?
- Студент хочет предсказать время ожидания в очереди в школьной столовой. Полезное исследование требует вопроса, данных и математики, которую студент может объяснить.
- Этот урок изучает предположение: условие, принятое для возможности построения математической модели, влияние которого следует оценить.
Метод решения
- Сформулируйте конкретный вопрос с измеримыми переменными и выполнимым методом.
- Ведите dated запись решений, источников и математических рассуждений.
- Используйте технологии для поддержки анализа и объясняйте каждый важный вывод своими словами.
Разобранный пример
$$\widehat t=1+0.2n,\qquad e=t-\widehat t$$
Пример
Пилот фиксирует среднее время ожидания 3,5,7 минут, когда перед ним 10,20,30 человек. Первая модель имеет вид t=1+0.2n. При n=25 она предсказывает 6 минут. Фактическое ожидание в 8 минут даёт остаток (residual) 2; следует исследовать изменение скорости обслуживания, а не скрывать расхождение.
Где допускаются ошибки
- Не копируйте пример исследования, не выдумывайте данные и не создавайте искусственный личный интерес.
- Прогноз не является доказательством до тех пор, пока он не будет сопоставлен с наблюдениями.
- Согласие и конфиденциальность имеют значение при сборе школьных данных.
Внимание
Неверно: Математическое исследование под руководством школы можно заменить письменным пробным экзаменом в ограниченное время. Исследование представляет собой объемную письменную работу, оцениваемую по собственным критериям; пробный экзамен проверяет совсем другое.
Применение
- Школа контролирует утверждение тем, промежуточные проверки, подлинность и оценку.
- Для текущего курса 2021 используйте текущее руководство и критерии школы; критерии запроса 2029 относятся к другой версии оценки.
В вашей программе
- Анализ и подходы HL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
- Билет 1 без калькулятора: сохраняйте дроби, корни и π точными, показывая каждый шаг. На билетах с калькулятором также записывайте выражение до получения значения.
Ключевая идея
- Предположение: условие, принятое для возможности построения математической модели, влияние которого следует оценить.
- Сформулируйте конкретный вопрос с измеримыми переменными и выполнимым методом.
- Следите за: не копируйте пример исследования, не выдумывайте данные и не создавайте искусственный личный интерес.