Математика GRE

Компьютерный тест по математике для бакалавриата GRE

Примерно 66 вопросов с вариантами ответов за 170 минут; нет отдельных тайминговых разделов. Математический анализ составляет около 50%, алгебра — 25%, остальные темы — 25%. Это тестирование для поступления в аспирантуру по математике бакалавриата, а не квалификационный экзамен уровня A-Level.

Официальный охват: https://www.ets.org/gre/test-takers/subject-tests/about/content-structure.html

C.1 · Одновариабельное исчисление и приложения

• Предел описывает значения функции в окрестности точки, не требуя её определения в самой этой точке. Непрерывность добавляет требование существования значения функции и его совпадения с пределом. Алгебраическое сокращение допустимо только вне точки обнуления сокращаемого выражения, но может выявить устранимый предел. Односторонние пределы должны совпадать для двустороннего предела. Для пределов частного проверьте знаменатель и условия применения правила перед вычислением; 0/0 — это неопределённость, а не ответ.
• Производная является пределом разностных отношений и влечёт за собой непрерывность; обратное утверждение неверно, что демонстрирует функция |x| в нуле. Правила произведения, частного и сложной функции описывают различные структуры: производная f(g(x)) равна f′(g(x))g′(x), а не произведению независимых величин. Дифференцирование сложной функции второй раз обычно порождает два слагаемых. Перед использованием символьного выражения в качестве производной проверьте области определения, ненулевые знаменатели и предположения дифференцируемости.
• Фундаментальная теорема гласит, что производная от ∫ от a до x непрерывного подынтегрального выражения f(t) равна f(x). При переменной верхней границе h(x) умножьте на h′(x); при двух переменных границах вычтите соответствующий вклад нижней границы. Определённый интеграл также возникает как предел сумм Римана. Перепишите сумму в виде (1/n)Σf(k/n) перед определением интеграла на [0,1], а не рассматривая зависимости от n как константы.
• Например, Σ от k=1 до n от n/(n²+k²) равно (1/n)Σ1/(1+(k/n)²), стремясь к ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4. Этот предел использует непрерывность и ширину разбиения 1/n. Ряд по неограниченному числу слагаемых представляет другой предел: стремление членов к нулю само по себе не гарантирует сходимость. Для Σ1/k частичные суммы расходятся; вместо того чтобы использовать необходимое условие члена как достаточное, сравните, оцените или примените корректный признак сходимости ряда.

Проверенный пример

Для F(x)=интеграл от 0 до x² от e^t dt фундаментальная теорема и правило сложной функции дают F′(x)=e^(x²)·2x. При x=1 значение F′(1)=2e. Верхний предел равен x², поэтому пропуск множителя 2x означает упущенную скорость изменения.

Распространённая ошибка

Математический анализ уровня A-level является полезным предварительным материалом, но не охватывает математический анализ и приложения, проверяемые на уровне вуза.

C.2 · Многочисленное исчисление и векторный анализ

• Частная производная изменяет одну координату, фиксируя остальные. Для f=x²+3xy имеем f_x=2x+3y и f_y=3x. Градиент объединяет эти производные; если f дифференцируема, то направленная производная вдоль единичного вектора v равна скалярному произведению grad f · v. Нормируйте направление перед вычислением скалярного произведения. Вектор направления длиной два удвоил бы результат, если бы использовался без нормировки.
• Дифференцируемость означает наличие корректной линейной аппроксимации, а не просто существование некоторых частных производных в одной точке. Непрерывность первых частных производных в окрестности является достаточным условием. Для композиции f(x(t),y(t)) правило сложной функции даёт f_x x′+f_y y′. Вторые производные могут включать как прямые, так и смешанные члены; нулевой смешанный частный производный сам по себе не накладывает ограничений на чистые вторые производные.
• Многократный интеграл суммирует вклады над заданной областью. Опишите область перед выбором повторных пределов; нерегулярные границы могут измениться при перестановке порядка интегрирования. В полярных координатах элемент площади равен r dr dtheta, а не просто dr dtheta. Общее преобразование координат использует абсолютное значение якобиана. Знак принадлежит ориентированным векторным величинам, тогда как масштабирование площади и объёма использует неотрицательный множитель.
• Если обе первые частные производные глобально определённой функции на R² постоянны, т. е. f_x=a и f_y=b, последовательное интегрирование даёт f=ax+by+c, что является уравнением плоскости. Это нельзя вывести из одних лишь параллельных прямых линий уровня: e^x имеет вертикальные параллельные линии уровня, но кривой график. Также равенство f_xy=f_yx=0 не обязывает функцию быть плоскостью: x²+y² служит контрпримером. Различайте постоянство первых производных, отсутствие смешанной зависимости и форму выбранных линий уровня.

Проверенный пример

Для f(x,y)=x²+3y² градиент f=(2x,6y). В точке (1,1) он равен (2,6). В направлении (3,4) единичный вектор составляет (3/5,4/5), что даёт направленную производную 2·3/5+6·4/5=6.

Распространённая ошибка

Не единичный вектор направления дает масштабированную скоростную характеристику направления, а не производную на единицу расстояния.

A.1 · Линейная алгебра

• Вещественное векторное пространство замкнуто относительно указанного сложения и умножения на скаляр и удовлетворяет аксиомам векторного пространства. Базис — это независимый порождающий список: каждый вектор имеет единственное представление координат в этом списке. Чтобы проверить линейную независимость столбцов матрицы, решите однородную систему Ac=0; только нулевой вектор коэффициентов означает независимость. Порождающее множество может содержать избыточные векторы, поэтому одного порождающего свойства недостаточно для образования базиса.
• Приведение к ступенчатому виду выявляет ведущие элементы и свободные переменные без изменения множества решений линейной системы. Ранг — это размерность образа столбцов, эквивалентно числу ведущих элементов. Ранг-нуль (nullity) — это размерность ядра: для отображения из n-мерной области ранг плюс ранг-нуль равно n. В неоднородной системе строка с нулевыми коэффициентами и ненулевой правой частью означает несоответствие; свободные переменные дают бесконечно много решений только после установления совместности. Размерность кообласти не обязательно равна рангу.
• Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля, ядро тривиально, а ранг равен размеру матрицы. Эти утверждения не требуют, чтобы каждый элемент был ненулевым. Определители треугольных матриц равны произведению диагональных элементов, поэтому матрица, зависящая от комплексной переменной, может быть вырожденной в комплексных корнях, отсутствующих в расчётах только по действительным числам. Обмен строк меняет знак определителя; прибавление кратного одной строки к другой не изменяет его. Проверяйте вырожденность перед применением формулы обратной матрицы.
• Собственный вектор ненулевой и удовлетворяет равенству Av=λv, поэтому собственные значения являются корнями det(A−λI). Диагонализация требует полного базиса линейно независимых собственных векторов над выбранным полем. Различные собственные значения дают линейно независимые собственные векторы, тогда как кратные собственные значения могут иметь слишком малое собственное подпространство. Действительная симметричная матрица имеет действительный ортонормированный базис собственных векторов. Действительная матрица нечетной размерности имеет хотя бы одно действительное собственное значение, поскольку ее действительный характеристический многочлен имеет нечетную степень; это само по себе не означает диагонализируемость или то, что все собственные значения действительны.

Проверенный пример

Матрица A=[[1,1],[0,1]] имеет характеристический многочлен (1−λ)². Собственные векторы удовлетворяют условию y=0, поэтому её собственное подпространство имеет размерность один. Для диагонализуемой матрицы размера 2×2 необходимо два линейно независимых собственных вектора; A не диагонализируема.

Распространённая ошибка

Алгебраическая кратность собственного значения не является автоматически равной размерности его собственного подпространства.

A.2 · Абстрактная алгебра и теория чисел

• Группа требует замкнутости, ассоциативности, наличия тождественного элемента и обратных элементов. Коммутативность является дополнительным условием.
• Гомоморфизм сохраняет операцию. Его ядро является нормальной подгруппой и идентифицирует элементы, отображаемые в тождественный элемент.
• Поле допускает деление на любой ненулевой элемент. Целые числа образуют кольцо, но не поле.
• Работа с конгруэнциями по модулю n. Резидуум a имеет мультипликативный обратный элемент тогда и только тогда, когда gcd(a,n)=1.

Проверенный пример

По модулю 8, 3 имеет обратный элемент 3, потому что 3·3=9≡1. Но 2 не имеет обратного элемента, так как gcd(2,8)=2. По модулю простого числа каждый ненулевой вычет имеет обратный элемент; это образует конечное поле.

Распространённая ошибка

Не сокращайте множитель в модульном уравнении без проверки его обратимости.

T.1 · Реальный анализ и топология

• Утверждение «эпсилон-дельта» контролирует все sufficiently близкие аргументы. Порядок кванторов имеет значение.
• В вещественном евклидовом пространстве замкнутые и ограниченные множества являются компактными. Не применяйте это эквивалентность ко всем метрическим пространствам.
• Непрерывные образы компактных множеств компактны, поэтому вещественная непрерывная функция на компактной области достигает своих экстремумов.
• Связность исключает разделение на непересекающиеся непустые открытые части. Непрерывность сохраняет связность; полнота — отдельное свойство.

Проверенный пример

f(x)=x на (0,1) непрерывна и ограничена, но никогда не принимает своего супремума 1. На [0,1] та же функция достигает максимума в точке 1. Отсутствующая граница объясняет, почему теорема о компактной области неприменима к первому случаю.

Распространённая ошибка

Заключение теоремы нельзя использовать до того, как проверены её гипотезы.

T.2 · Дискретная математика, теория вероятностей и численные методы

• Сначала выберите модель подсчета: упорядоченные выборки из r различных объектов используют формулу n(n−1)⋯(n−r+1), а неупорядоченные подмножества — C(n,r). Полный простой граф на n вершинах содержит по одному ребру для каждой пары неупорядоченных вершин, что дает n(n−1)/2 ребер; петли и кратные ребра изменили бы модель. Для n прямых в общем положении на плоскости k-я прямая пересекает предыдущие k−1 прямых в различных точках и добавляет k областей. Общее число равно 1+n(n+1)/2; параллельные прямые или пересечение трех прямых в одной точке опровергают этот подсчет.
• Используйте дополнение для подсчета «хотя бы одного» появления и рассматривайте условную вероятность после реального оставшегося состава при выборке без возвращения. Для r iid исходов, выбранных из n равновероятных значений, вероятность того, что все они различны, равна n(n−1)⋯(n−r+1)/n^r при r≤n. Его дополнение считает повторяющиеся исходы. Для биномиального распределения с N независимыми испытаниями и фиксированной вероятностью успеха p среднее значение равно Np, а дисперсия — Np(1−p). Равенство вероятностей само по себе не устанавливает независимость.
• Рекуррентное соотношение описывает последующие значения через предыдущие и требует достаточного количества начальных данных для определения последовательности. Разделите индекс от значения: a_n=2a_(n−1) при a_0=3 дает a_n=3·2^n. Графические и алгоритмические аргументы часто устанавливают рекуррентное соотношение, определяя, что новый элемент или шаг добавляет. Закрытая формула должна удовлетворять как рекуррентному соотношению, так и начальным условиям; подбор нескольких наблюдаемых членов не доказывает её справедливость для каждого индекса.
• Численное приближение требует доказательства ошибки. Метод половинного деления сохраняет интервал со сменой знака для непрерывной функции и уменьшает его ширину вдвое на каждом шаге; нуль может отсутствовать, если нарушена непрерывность. Формула Ньютона: x_new=x−f(x)/f′(x), требующая ненулевого производной в текущей точке; сходимость не гарантирована из любой начальной точки. Остаточная величина приближения и его ошибка по x — это разные понятия. Указывайте предположения метода и критерий остановки, а не воспринимайте лишние отображаемые десятичные знаки как точность.

Проверенный пример

Для f(x)=x²−2 и x₀=1, шаг Ньютона даёт 1−(1−2)/2=1.5. Следующее значение равно 1.5−0.25/3=1.4167. Эти значения приближённо вычисляют sqrt(2), однако f′(0)=0 делает ноль недопустимой начальной точкой.

Распространённая ошибка

События с положительными вероятностями не могут быть одновременно независимыми и несовместными.

T.3 · Комплексный анализ и вычеты

• Запишите f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Комплексная дифференцируемость накладывает условия u_x=v_y и u_y=−v_x; при наличии непрерывных первых частных производных локально уравнения Коши–Римана установят аналитичность в этой области. Они отличаются от вещественной дифференцируемости отображения с двумя координатами. Сопряженная функция x−iy не удовлетворяет этим уравнениям ни в какой открытой окрестности, хотя вещественные частные производные существуют. Указывайте проверяемую область, а не только удобный пункт.
• Аналитическая функция комплексно-дифференцируема во всей окрестности и имеет сходящийся логарифмический ряд. Устранимая особая точка может быть заполнена аналитически, когда функция ограничена около пропущенной точки. Полюс имеет конечную главную часть в своем ряде Лорена; существенно особая точка имеет бесконечно много членов с отрицательными степенями. Вычет — это коэффициент при (z−a)⁻¹, а не обязательно старший член или наибольший член с отрицательной степенью.
• Для изолированного полюса порядка m запишите f(z)=g(z)/(z−a)^m, где g аналитична в точке a. Вычет равен g^(m−1)(a)/(m−1)!. Простой полюс использует g(a); двойной полюс использует g′(a). Это следует из разложения g в ряд Тейлора. Таким образом, e^z/(z−a)² имеет вычет e^a, тогда как постоянный числитель над чисто двойным полюсом имеет нулевой вычет. Порядок полюса сам по себе не определяет контурный интеграл.
• Для положительно ориентированного контура, охватывающего изолированные особые точки, теорема о вычетах дает ∮f(z)dz=2πi умноженное на сумму заключенных вычетов, при условии, что функция аналитична на контуре и в остальной части требуемой внутренней области. Изменение ориентации меняет знак. Формула Коши для производной: ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! при соблюдении условий аналитической области. Особая точка на контуре препятствует прямому применению; особая точка вне контура не вносит вклада в данный интеграл.

Проверенный пример

Для f(z)=конъюгат(z) имеем u=x и v=−y. Тогда u_x=1, но v_y=−1, следовательно, f не является комплексно-дифференцируемой. Для 1/(z−2) положительно ориентированная окружность |z−2|=1 охватывает простой полюс с вычетом 1, поэтому интеграл равен 2πi.

Распространённая ошибка

Непрерывность или реальная дифференцируемость по отдельности не гарантируют комплексной аналитичности.

C.3 · Дифференциальные уравнения и начальные условия

• Для y′=ky разделение переменных и интегрирование дают y=Ce^(kt); нулевое решение восстанавливается, если деление на y было допущено. Начальное значение определяет C.
• Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами решается через характеристический многочлен. Различные корни дают экспоненциальные функции; кратный корень требует вида (C1+C2t)e^(rt).
• Комплексные корни α±iβ дают e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt). Действительное движение содержит информацию как об амплитуде, так и о фазе.
• Существование и единственность зависят от условий в окрестности начальной точки. Особый коэффициент или нарушение локального условия Липшица могут опровергнуть стандартный вывод об единственности.

Проверенный пример

Решите y″+4y=0 при y(0)=3 и y′(0)=4. Корни характеристического уравнения ±2i, поэтому y=A cos2t+B sin2t. Первое условие дает A=3; дифференцируя, получаем y′(0)=2B=4, откуда B=2.

Распространённая ошибка

Кратный корень характеристического уравнения требует множителя t; две копии одной экспоненты не являются независимыми решениями.

A.3 · Группы, косеты и фактор-отображения

• Перед вычислением порядка проверьте замкнутость, ассоциативность, наличие единичного элемента и обратного элемента для каждого элемента относительно указанной операции. Подмножество может унаследовать ассоциативность, но потерять замкнутость или опустить единичный элемент. В конечной группе порядок элемента — это наименьшая положительная степень, дающая единичный элемент. В аддитивной группе Z/nZ это наименьшее положительное кратное, дающее ноль; порядок остатка a равен n/gcd(a,n). Теорема Лагранжа гласит, что порядки подгрупп делят порядок группы. Обратное утверждение не является общей теоремой существования, и порядок группы не равен порядку каждого элемента.
• Левый класс вычета gH — это сдвиг подгруппы H. Классы вычета имеют одинаковый размер и разбивают группу, поэтому индекс равен |G|/|H| в конечной группе. В аддитивной группе записывается g+H. Принадлежность одному и тому же классу вычета означает, что их разность лежит в H. Класс вычета обычно не является подгруппой, так как может не содержать единичный элемент.
• Гомоморфизм сохраняет операцию. Его ядро состоит из элементов, отображаемых в единицу, а образ — из значений, которые действительно достигаются. Каждое ядро является нормальной подгруппой. Первая теорема об изоморфизме устанавливает соответствие G/ker(phi) и im(phi); не заменяйте образ на весь кодомен, если отображение не является сюръективным.
• Факторное умножение корректно определено только тогда, когда H является нормальной подгруппой. Все подгруппы абелевой группы являются нормальными. В неабелевой группе проверьте условие gHg^−1=H; подгруппа индекса два является нормальной. Для перестановок применяйте композицию в указанном порядке: справа налево. Длины непересекающихся циклов определяют порядок перестановки через их наименьшее общее кратное. Сопряжение hσh⁻¹ переименовывает элементы в циклах σ, сохраняя их длины; наоборот, перестановки с одинаковыми длинами циклов могут быть связаны переименованием. Таким образом, классы сопряженности в S_n соответствуют разбиениям n, включая фиксированные точки. В S4 типы: 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 и 4: пять классов, а не один класс для каждого возможного порядка элемента. Типы 2+1+1 и 2+2 оба имеют порядок два, но не являются сопряженными.

Проверенный пример

Определите phi из Z/12Z в Z/3Z путем приведения остатков по модулю 3. Оно сюръективно и сохраняет сложение. Его ядро H равно {0,3,6,9}, поэтому |H|=4, а индекс составляет 12/4=3. Остальные классы вычета: {1,4,7,10} и {2,5,8,11}. Таким образом, (Z/12Z)/H изоморфно Z/3Z. Элемент 3 в исходной группе имеет порядок 12/gcd(3,12)=4, а не 3.

Распространённая ошибка

В факторгруппе один элемент соответствует одному классу вычета, а не одному элементу её ядра. Гомоморфизм не обязательно является сюръективным на указанный кодомен.

A.4 · Кольца, идеалы и модули

• Для примеров с областью, идеалом и факторкольцом ниже используйте коммутативное кольцо с единицей 1, отличным от 0. Исходная задача может указывать общее кольцо; не предполагайте коммутативность умножения, если это не указано или не доказано. Обратимый элемент имеет мультипликативный обратный. Ненулевой делитель нуля умножается на некоторый ненулевой элемент, давая ноль. Область целостности не содержит таких делителей нуля; сокращение ненулевого множителя при этом возможно. Поле — это область, в которой каждый ненулевой элемент является обратимым. Z является областью, но не полем; Z/6Z ни тем, ни другим.
• Идеал I — это аддитивная подгруппа, поглощающая умножение на любой элемент кольца. Это более сильное условие, чем просто быть подкольцом. В Z, nZ является идеалом; элементы факторгруппы — это классы целых чисел по модулю n. В коммутативном кольце R/I является полем тогда и только тогда, когда I максимален, и областью целостности тогда и только тогда, когда I прост. В обоих утверждениях идеал должен быть собственным.
• Модуль позволяет скаляры из кольца вместо требования поля. Каждая абелева группа является Z-модулем посредством повторного сложения, но она не обязательно имеет базис векторного пространства. В Z/6Z как Z-модуле, 6 умножить на ненулевой вычет 1 дает ноль; это торсион. Для векторного пространства над полем ненулевой скаляр обратим и не может аннулировать ненулевой вектор.
• A submodule is closed under addition and all permitted scalar actions. A linear map of modules preserves both. The kernel and image are submodules, and the quotient by the kernel is isomorphic to the image. Do not apply finite-dimensional rank-nullity to an arbitrary module without establishing an appropriate free-module setting; integer row operations and field row operations permit different divisions. In a general Boolean ring, every a satisfies a²=a. Do not assume commutativity to prove it: idempotence of a+a gives 4a=2a, hence 2a=0. Expanding (a+b)²=a+b gives ab+ba=0, and characteristic two makes −ba=ba; therefore ab=ba. Idempotence does not imply nilpotence: in F2, the nonzero element 1 satisfies 1^n=1 for every positive n.

Проверенный пример

In Z/6Z, 2·3=0, so 2 and 3 are zero divisors. The units are 1 and 5 because their gcd with 6 is 1. In Z, the ideal 5Z gives the field Z/5Z, while 6Z gives a quotient with zero divisors. As Z-modules, the map from Z to Z/6Z has kernel 6Z; the quotient identifies integers differing by a multiple of 6, rather than producing a real vector space.

Распространённая ошибка

Множество может быть подмодулем, не являясь векторным пространством над рациональными числами. Деление на скаляр корректно только тогда, когда обратный скаляр принадлежит данной структуре.

A.5 · Многочлены и расширения полей

• Многочлен неприводим над полем, если его степень положительна и он не раскладывается на многочлены меньшей положительной степени. Квадратный или кубический многочлен неприводим тогда и только тогда, когда у него нет корня в этом поле. Этот тест по корням недостаточен для степеней четыре и выше; например, (x²+1)(x²+2) не имеет действительных корней, но приводим над R. Всегда указывайте базовое поле.
• Фактормодуль F[x]/(p) является полем, когда p неприводим. Упрощайте степени, используя p(alpha)=0, где alpha — класс вычета x. Если F содержит q элементов, а p имеет степень d, то фактормодуль содержит q^d элементов, представляемых многочленами степени ниже d. Z/4Z имеет четыре элемента, но содержит делители нуля, поэтому это не поле с четырьмя элементами.
• Над F2, p(x)=x²+x+1 принимает значение 1 как при x=0, так и при x=1, и является неприводимым. В его фактормодуле alpha²=alpha+1, поскольку вычитание равносильно сложению в характеристике два. Четыре элемента: 0,1, alpha, alpha+1. Все три ненулевых элемента должны быть единицами; вычисляйте их произведения, а не рассматривайте alpha как обычный вещественный число.
• Для вкладывающихся конечных расширений K ⊂ L ⊂ M теорема о башне дает [M:K]=[M:L][L:K]. Степень алгебраического элемента равна степени его минимального многочлена. Конечное расширение степени два не содержит элемента степени три над базовым полем. Над Q, sqrt(2) имеет степень два; присоединение также sqrt(3) порождает расширение степени четыре, так как sqrt(3) не содержится в Q(sqrt(2)). Над C примитивные корни nth степени из единицы имеют точный порядок n и являются корнями циклотомического многочлена Φ_n. Для n=10, разделим x⁵+1 на x+1, чтобы исключить корень порядка два −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. Формулы Виета дают сумму 1 и произведение 1 четырех его примитивных корней. Не суммируйте все десятые корни или не предполагайте, что любой нетривиальный десятый корень является примитивным; порядок каждого корня должен быть проверен. Для монического многочлена степени d произведение его корней равно (−1)^d, умноженному на свободный член.

Проверенный пример

В F2[alpha] при условии alpha²+alpha+1=0, умножим alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. Следовательно, alpha^−1=alpha+1. Также alpha³=1 и alpha ≠ 1, поэтому его мультипликативный порядок равен 3. Это порождает поле с четырьмя элементами. Напротив, в Z/2Z выполняется 2·0=4, что доказывает, что данный фактормодуль не является полем.

Распространённая ошибка

Приводимость многочлена меняется вместе с полем коэффициентов. Многочлен x²−2 неприводим над Q, но распадается над R.

A.6 · Конгруэнции, делимость и арифметические функции

• Уравнение ax≡b по модулю n имеет решение тогда и только тогда, когда d=gcd(a,n) делит b. Если это выполняется, разделите a, b и n на d, чтобы получить уравнение с обратимым коэффициентом. Оно имеет один остаток по модулю n/d и d различных решений по модулю n. Деление коэффициента без изменения исходного модуля обычно приводит к потере решений. Разложение на простые множители дает еще один инструмент делимости: если n^k должно быть кратно произведению степеней простых чисел p^a, то каждый простой показатель степени в n должен быть не менее ceil(a/k). Эти минимальные показатели независимо образуют наименьшее положительное допустимое n. Для n⁴, кратного 2⁷·3⁵, n должно содержать 2² и 3², поэтому наименьшее значение равно 36. Это условие показателей степеней простых чисел, а не сравнение, решаемое через модульное деление.
• Расширенный алгоритм Евклида выражает gcd(a,n) как ua+vn. Когда gcd равен 1, u является обратным элементом a по модулю n. Выберите представитель в требуемом диапазоне после приведения. Для 7 и 26, 1=15·7−4·26, следовательно, 15 является обратным элементом для 7 по модулю 26; проверьте произведение, чтобы избежать ошибки знака.
• Для взаимно простых положительных модулей m,n китайская теорема об остатках дает ровно одно решение по модулю mn для каждой пары условий вычетов. Подставьте x=r+mk во второе congruence и решите относительно k. Если модули не являются взаимно простыми, их значения вычетов должны совпадать по модулю gcd(m,n); при согласованности единственность достигается по модулю наименьшего общего кратного, а не произведения.
• Функция Эйлера φ(n) считает вычеты, взаимно простые с n. Для различных простых делителей p, φ(n)=n умноженное на произведение (1−1/p). Теорема Эйлена дает a^φ(n)≡1 только когда gcd(a,n)=1. Случай простого числа — малая теорема Ферма. Уменьшайте показатели степени только после проверки этого условия; необратимый элемент может стать нулем под действием повторных степеней.

Проверенный пример

Решите 6x≡9 по модулю 15. НОД равен 3 и делит 9. Разделите все три величины, чтобы получить 2x≡3 по модулю 5; обратный элемент к 2 равен 3, поэтому x≡9≡4 по модулю 5. Исходные решения по модулю 15 равны 4,9,14. Для x≡2 по модулю 4 и x≡3 по модулю 7, запишите x=2+4k; тогда 4k≡1 по модулю 7, откуда k≡2. Следовательно, x≡10 по модулю 28.

Распространённая ошибка

Выражение a^φ(n)≡1 ложно для произвольного a. Например, 2 не является обратимым по модулю 8, а 2^4 равно нулю по модулю 8.

T.4 · Числовые последовательности, ряды и равномерная сходимость

• Сходящаяся вещественная последовательность является последовательностью Коши, и каждая последовательность Коши вещественных чисел сходится, поскольку R является полным. В Q последовательность Коши может стремиться к иррациональному числу и не сходиться внутри Q. Ограниченная монотонная вещественная последовательность сходится. Ограниченная последовательность не обязательно сходится, но теорема Больцано–Вейерштрасса гарантирует наличие сходящейся подпоследовательности; (-1)^n имеет два различных предела подпоследовательностей.
• Для числового ряда абсолютная сходимость влечёт сходимость; условная сходимость не допускает произвольной перестановки членов без изменения суммы. Знакопеременный гармонический ряд сходится, но его ряд из модулей расходится. В признаке Даламбера предел ниже 1 доказывает абсолютную сходимость, а выше 1 — расходимость; предел, равный 1, является неопределённым, что демонстрируют как сумма 1/n, так и сумма 1/n².
• Точечная сходимость выбирает индекс N отдельно для каждого x и допустимого отклонения. Равномерная сходимость выбирает один индекс N, который работает для всех x из области определения. Для вещественнозначных функций проверяйте супремум |f_n−f| по всей области определения. Непрерывный точечный предел сам по себе не доказывает равномерную сходимость. Граничные значения области определения и сужающиеся пики часто различают эти понятия.
• Равномерный предел непрерывных функций является непрерывным. На замкнутом ограниченном интервале равномерная сходимость Риман-интегрируемых функций позволяет менять местами предел и интеграл. Замена производных требует дополнительных предпосылок; одной лишь равномерной сходимости самих функций недостаточно. Признак Вейерштрасса (M-признак) устанавливает равномерную абсолютную сходимость ряда функций, если каждый член ограничен M_n на всей области определения, а сумма M_n сходится.

Проверенный пример

На [0,1], f_n(x)=x^n стремится к 0 при x<1 и к 1 при x=1. Предел разрывен, поэтому сходимость не может быть равномерной; непосредственно, супремум ошибки равен 1, достигается снизу 1. На [0,a] при 0≤a<1, предел равен нулю, а супремум равен a^n, который стремится к нулю, следовательно, сходимость равномерная. Изменение области определения меняет вывод.

Распространённая ошибка

Проверка нескольких фиксированных значений x не доказывает ни существование верхней границы, ни равномерную сходимость. Точка, дающая наибольшую ошибку, может смещаться вместе с n.

T.5 · Открытые множества, компактность и связность

• В метрическом пространстве открытое множество содержит небольшой шар вокруг каждой своей точки. Внутренность состоит из таких точек; замыкание включает все предельные точки; граница — это замыкание минус внутренность. Понятия «открытое» и «замкнутое» не являются взаимоисключающими метками; пустое множество и всё пространство обладают обоими свойствами. В R множество [0,1) имеет внутренность (0,1), замыкание [0,1] и границу {0,1}.
• В подпространстве X открытое множество имеет вид X, пересечённого с окружающей открытой множеством. Таким образом, [0,1) является открытым относительно [0,2] благодаря пересечению с (-1,1), хотя оно не является открытым в R. Множество также может быть относительно замкнутым, не будучи замкнутым в окружающем пространстве. Всегда указывайте, какое пространство определяет окрестности и какая метрика используется.
• Компактность означает, что каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. В евклидовом R^n теорема Гейне–Бореля делает это эквивалентным замкнутости и ограниченности. В метрическом пространстве компактность эквивалентна последовательной компактности; одна лишь полнота и ограниченность не достаточны в произвольных метрических пространствах. Непрерывный образ компактного множества является компактным, что обеспечивает достижение максимумов и минимумов для вещественных непрерывных функций на непустом компактном множестве.
• Связные множества нельзя разделить на два непересекающихся непустых относительно открытых части; связные подмножества R — это именно интервалы. Непрерывный образ связного множества является связным, что приводит к теореме о промежуточных значениях. Пути-связность влечёт связность, но не наоборот в каждом пространстве. Компактное множество не обязательно является связным, и связное множество не обязательно является компактным; конечное двухточечное множество и открытый интервал служат контрастными примерами.

Проверенный пример

Пусть X=[0,1] со своей обычной относительной топологией. Множество U=[0,0.5) равно X, пересечённому с (-1,0.5), поэтому U открыто в X. Его замыкание в X равно [0,0.5], а граница в X равна {0.5}; ноль является внутренней точкой относительно X. Для непрерывной f на X, при f(0)<0<f(1)), связность гарантирует наличие нуля, а компактность отдельно обеспечивает достижение экстремумов.

Распространённая ошибка

Признак Гейне–Бореля (замкнутость и ограниченность) — теорема о евклидовом пространстве. Связность и компактность отвечают на разные вопросы.

C.4 · Ряды Тейлора и точки сходимости степенных рядов

• Полином Тейлора степени m в точке a есть сумма f^(k)(a)(x−a)^k/k! для k от нуля до m. Факториал входит в каждый коэффициент. Если следующий производная ограничена по модулю величиной M между a и x, остаток Лагранжа имеет модуль не более M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. Одной лишь гладкости недостаточно для того, чтобы бесконечный ряд Тейлора совпадал с функцией везде.
• Степенной ряд sum c_n(x−a)^n сходится абсолютно внутри своего радиуса R и расходится вне его. Обычно радиус R определяется признаком Даламбера или Коши, возможные значения — ноль и бесконечность. В точках x=a−R и x=a+R признак часто становится нерешающим; подставьте каждое из граничных значений в исходный ряд. Поведение ряда на концах может различаться.
• Внутри открытого интервала сходимости почленное дифференцирование и интегрирование сохраняют радиус. Они могут изменить вопрос о включении концов интервала. Начните с геометрического ряда 1/(1−x)=sum x^n для |x|<1, затем проинтегрируйте от нуля до x, чтобы получить −ln(1−x)=sum x^n/n для n≥1. Проверьте константу интегрирования и область определения натурального логарифма.
• Ряды также помогают устранить устранимые неопределенности. Чтобы вычислить предел (e^x−1−x)/x² вблизи нуля, сохраните первый ненулевой член x²/2, а не используйте только e^x≈1+x. Асимптотическое усечение устанавливает предел; конечное неравенство на отрезке требует отдельного доказательства знака или модуля остатка. Не подставляйте значения в ряд вне его интервала сходимости.

Проверенный пример

Для sum x^n/n при n≥1 признак Даламбера дает радиус 1. При x=1 это расходящийся гармонический ряд; при x=−1 это знакочередующийся сходящийся ряд. Таким образом, интервал действительной сходимости равен [−1,1). Дифференцирование внутри дает sum x^(n−1)=1/(1−x), который не сходится ни на одном из концов. Радиус остался 1, но вопрос об included endpoints изменился.

Распространённая ошибка

Радиус не является полным интервалом сходимости. Необходимо явно проверить концы интервала и факториальные коэффициенты.

C.5 · Несобственные интегралы и геометрические приложения

• Бесконечный предел интегрирования заменяется конечной границей и пределом. В особой точке внутри интервала интеграл разбивается, и требуется, чтобы оба односторонних интеграла сходили отдельно. Симметричная компенсация может определить главное значение Коши, но не доказывает сходимость обычного несобственного интеграла. Для 1/x при переходе через ноль обе части расходятся, хотя симметричные отсечения компенсируют друг друга.
• Интеграл от x^(−p) от 1 до бесконечности сходится тогда и только тогда, когда p>1. От нуля до 1 он сходится тогда и только тогда, когда p<1. Один и тот же показатель ведет себя по-разному на обоих концах. Для неотрицательных подынтегральных функций сравнение переносит сходимость от большей интегрируемой функции или расходимость от меньшей неинтегрируемой; сохраняйте правильное направление неравенства. Для интеграла от максимума или минимума решите пересечение ветвей и проверьте, какое выражение доминирует на каждом интервале. Для max(√(1−x²),x+1) на [−1,1], внутреннее пересечение находится в нуле; используйте полуокружность на [−1,0] и прямую на [0,1]. Площадь равна π/4+3/2, а не интегралу ни одной из ветвей на всем интервале.
• При вращении вокруг оси x для дисков или коле используется π(R²²−r²²) dx. Цилиндрические оболочки используют 2π умножить на радиус и высоту, интегрируя по соответствующей переменной. Выберите метод по геометрии и убедитесь в неотрицательности радиусов. Площадь между кривыми вычисляется как верхняя минус нижняя, с разбивкой там, где меняется их порядок. Знаковый интеграл автоматически не является геометрической площадью.
• Для дифференцируемой плоской кривой y=f(x) длина дуги равна интегралу от sqrt(1+(f′(x))²) dx. Площадь поверхности, образованной вращением неотрицательной функции f вокруг оси x, вычисляется через интеграл 2πf sqrt(1+(f′)²) dx. Это величины, отличные от объема. Если интервал неограничен, геометрическая формула также требует проверки сходимости.

Проверенный пример

Вращайте y=1/x при x≥1 вокруг оси x. Объем диска равен π, умноженному на интеграл от 1/x², поэтому V=π. Подынтегральное выражение боковой поверхности равно 2π(1/x)·sqrt(1+1/x⁴), что не менее чем 2π/x; его несобственный интеграл расходится. Следовательно, конечный объем не означает конечную площадь поверхности. Это сравнение позволяет избежать попытки найти лишнюю первообразную.

Распространённая ошибка

Никогда не считайте главное значение сходящимся несобственным интегралом или выводите конечность одной геометрической величины из другой.

C.6 · Экстремумы функций нескольких переменных и задачи условной оптимизации

• Для дифференцируемой функции на открытом множестве локальный экстремум во внутренней точке имеет нулевой градиент. Это необходимое, но не достаточное условие. Для двух переменных в критической точке положим D=f_xx f_yy−(f_xy)². Если D>0, то f_xx>0 дает строгий локальный минимум, а f_xx<0 — строгий локальный максимум; при D<0 получается седловая точка. Эти признаки требуют подходящей регулярности вторых производных в окрестности точки.
• При D=0 признак вторых производных не дает ответа и не является доказательством наличия седловой точки. Функции x⁴+y⁴ и x⁴−y⁴ имеют одинаковый нулевой гессиан в начале координат, однако одна из них имеет строгий минимум, а другая меняет знак. Оценивайте вдоль различных направлений или используйте прямое неравенство. Для квадратичной формы положительная определенность дает более общее истолкование гессиана.
• На гладком равенстве-ограничении g(x,y)=c с ненулевым градиентом g решите систему gradient f=lambda gradient g совместно с g=c. Эти уравнения порождают кандидаты, но не классифицируют их и не гарантируют глобальный экстремум. Если градиент ограничения обращается в ноль, условие регулярности нарушается, и уравнения с множителем могут пропустить ограниченный экстремум. Рассматривайте такие точки отдельно. Для x²+y²=a и xy=b>0, (x−y)²=a−2b показывает необходимость a≥2b. Это также достаточно: возьмите s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 и y=(s−d)/2. Эти действительные значения удовлетворяют xy=b и x²+y²=a. Условие минимума само по себе требует этой проверки достижимости для установления разрешимости.
• Непрерывная функция на компактном допустимом множестве достигает глобальных экстремумов. Для их нахождения сравните все кандидаты из внутренней области и все куски границы, включая углы и концы отрезков. Для прямоугольника оптимизируйте ограничения на каждом ребре. Для круга круговая граница может быть параметризована или исследована методом множителей Лагранжа. Решение только задачи без ограничений игнорирует возможных победителей на границе.

Проверенный пример

Минимизируйте x²+y² при условии x+y=6. Градиент ограничения равен (1,1), поэтому 2x=lambda и 2y=lambda. Отсюда x=y, и ограничение дает x=y=3, со значением 18. Выделение полного квадрата на прямой дает x²+(6−x)²=2(x−3)²+18, что доказывает наличие глобального минимума. На этой неограниченной прямой нет максимума, несмотря на существование кандидата из метода множителей Лагранжа.

Распространённая ошибка

Решение с использованием множителя Лагранжа является лишь кандидатом, а не автоматически максимумом или минимумом. Проверьте регулярность и полное допустимое множество.

C.7 · Замена координат и теоремы о векторных интегралах

• Замена переменных масштабирует площадь или объем на абсолютную величину якобиана. Полярные координаты используют r dr dtheta; цилиндрические координаты используют r dr dtheta dz; сферические координаты с углом phi, отсчитываемым от положительной оси z, используют rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. Указывайте конвенции углов и преобразуйте как подынтегральное выражение, так и область. Пропущенный якобиан превращает интеграл от равномерной плотности в неверную физическую величину.
• Теорема Грина приравнивает интеграл по контуру положительно ориентированной плоской границы ∮ P dx+Q dy к двойному интегралу от Q_x−P_y по области. Обычные гипотезы требуют непрерывности первых производных на открытом множестве, содержащем область. Дыра требует собственной отрицательно ориентированной внутренней границы или другого корректного подхода к отсутствующей области. Теорема не может интегрировать через сингулярность поля.
• Теорема Стокса приравнивает циркуляцию на границе поверхности к поверхностному интегралу от curl F, умноженному на ориентированную нормаль. Правило правой руки связывает направление границы с нормалью. Теорема о дивергенции приравнивает поток, направленный наружу через замкнутую поверхность, к объемному интегралу от div F. Циркуляция, поток, ротор и дивергенция — это разные понятия; для обычной теоремы о дивергенции требуется замкнутая поверхность.
• Градиентное поле имеет криволинейные интегралы, не зависящие от пути, определяемые разностью потенциалов на концах. Непрерывно дифференцируемое безроторное поле на просто связанном открытом множестве является консервативным. Отсутствие ротора одного на области с дырой недостаточно. Для F=(−y/(x²+y²), x/(x²+y²)) начало координат исключено; циркуляция по единичной окружности равна 2π, хотя ротор равен нулю везде, где определено поле.

Проверенный пример

Для F=(x,y,z) дивергенция равна 3. Следовательно, внешний поток через сферу радиуса 2 равен 3, умноженному на её объем, то есть 3·(4π·2³/3)=32π. Это избегает параметризации поверхности. Для плоского поля (−y,x) теорема Грина дает циркуляцию единичной окружности против часовой стрелки как интеграл от 1−(−1)=2 по диску, следовательно, 2π. Изменение ориентации меняет знак циркуляции.

Распространённая ошибка

Нулевой ротор недостаточен, когда область имеет дыру. Внешний поток и циркуляция против часовой стрелки используют разные теоремы и правила ориентации.

T.6 · Функции, обратные ветви и композиция

• Функция ставит в соответствие каждому допустимому входу ровно один выход. Инъективность означает, что равные выходы требуют равных входов; сюръективность означает, что каждый элемент указанного кодомена достигается. Отображение x↦x² из R в [0,∞) является сюръективным, но не инъективным. Из [0,∞) в [0,∞) оно является биективным. Из [0,∞) в R оно остается инъективным, но теряет сюръективность. При проверке каждого утверждения разделяйте область определения, образ и кодомен.
• Обратная функция обращает биекцию. Решите y=f(x) относительно x, затем используйте исходную область определения для выбора ветви. Для f(x)=(x−2)²−5 на x≥2 обратной функцией является 2+√(y+5) при y≥−5. Ветка со знаком минус вернула бы входы вне выбранной области определения. Проверьте f⁻¹(f(x))=x для допустимых x и f(f⁻¹(y))=y для допустимых y; одна непроверенная композиция может скрыть ошибку в области определения.
• График обратной функции отражает исходный график относительно прямой y=x; он не вычисляет обратные значения выходных величин. Самообратная функция (инволюция) удовлетворяет условию f(f(x))=x там, где определена композиция. Как −x на R, так и 1/x на R без нуля являются инволюциями. Строго возрастающая инволюция на интервале должна быть тождественным отображением: если f(x)>x, то из монотонности следует f(f(x))>f(x)>x, а аналогичное рассуждение исключает случай f(x)<x.
• Итерация fⁿ означает повторное композицию, а не степень (f(x))ⁿ. Вычислите первые несколько композиций и проверьте их области определения перед поиском периода. Для f(x)=1/(1−x) на R за исключением 0 и 1, f²(x)=(x−1)/x и f³(x)=x. Образ остается в той же допустимой области. Следовательно, количество итераций следует сводить по модулю трех. Дискретная формула, равная x после сокращения, не восстанавливает запрещенные входные значения.

Проверенный пример

Для f(x)=(x−2)²−5 при x≥2, f(5)=4 и f^(⁻¹)(4)=2+√9=5. Неограниченная квадратичная функция имела бы два корня, −1 и 5, давая значение 4. Для g(x)=1/(1−x) орбита 3→−1/2→2/3→3 имеет период три, поэтому g^(⁸)(3)=2/3; речь идёт о композициях, а не об восьмых степенях.

Распространённая ошибка

Изменение кодомена влияет на сюръективность. Отражение относительно y=x дает график обратной функции; взятие обратных значений y — это другая операция. Не исключайте запрещенные входы.

T.7 · Образы множеств, эквивалентные отношения и логическое отрицание

• Для f:X→Y и A⊆X образ f(A) состоит из всех выходов f(a), где a принадлежит A. Точка принадлежит f(A∪B) тогда и только тогда, когда она получается из A или B, поэтому f(A∪B)=f(A)∪f(B). Если A⊆B, то f(A)⊆f(B). Для пересечения автоматически выполняется лишь f(A∩B)⊆f(A)∩f(B): одинаковый выход может получаться из разных входов. Используйте f(x)=x², A={−1}, B={1}; левый образ пуст, в то время как правое пересечение равно {1}.
• Прообразы ведут себя иначе. Для C⊆Y запись f⁻¹(C) здесь обозначает множество всех входов, переходящих в C, даже если у f нет обратной функции. Принадлежность двум прообразам означает, что именно тот же самый вход переходит в оба целевых множества. Следовательно, прообразы сохраняют объединения, пересечения и дополнения относительно указанной области определения/кодомена. Не переносите теорему о прообразах на образы. Если f инъективна, пересечения образов становятся равными, поскольку равные выходы тогда требуют общего входа.
• Отношение R на X рефлексивно, когда xRx для каждого x, симметрично, когда xRy влечет yRx, и транзитивно, когда xRy и yRz влекут xRz. Все три свойства вместе образуют отношение эквивалентности; его классы образуют разбиение X. На целых числах отношение xRy, определяемое тем, что x и y имеют одинаковый остаток при делении на четыре, дает четыре класса. Отношение |x−y|≤1 рефлексивно и симметрично, но не транзитивно: 0R1 и 1R2, в то время как 0 не связано с 2. Проверки одной диаграммы или лишь двух свойств недостаточно.
• Импликация P⇒Q ложна тогда и только тогда, когда P истинно, а Q ложно. Следовательно, отрицанием P⇒(Q∧R) является P∧(¬Q∨¬R), а не ¬P⇒(¬Q∧¬R). Отрицание «для каждого x выполняется свойство A» дает «существует x, для которого A не выполняется»; отрицание «существует x» дает «для каждого x выполняется противоположное». Контрпример может опровергнуть универсальное утверждение, в то время как примеры не могут его доказать. При индивидуальном отрицании кванторы сохраняют свой порядок: ¬(∀x∃y S(x,y)) эквивалентно ∃x∀y ¬S(x,y).

Проверенный пример

Пусть f отображает как a, так и b в метку L. При A={a}, B={b} имеем f(A∩B)=∅, но f(A)∩f(B)={L}. Для отношения xRy, заданного условием x=y или x=−y на множестве R, рефлексивность и симметрия следуют непосредственно из определения, а два изменения знака все равно дают z=±x, что доказывает транзитивность. Классы включают {x,−x}, где {0} — одноэлементное множество (синглетон). Ложное утверждение «каждый сохраненный файл имеет хеш» означает, что существует хотя бы один сохраненный файл без хеша; это не означает, что у всех файлов нет хешей.

Распространённая ошибка

f⁻¹(C) может означать прообраз множества без наличия обратной функции. Рефлексивное и симметричное отношение все еще может не быть транзитивным. Отрицайте все высказывание целиком перед упрощением его частей.

T.8 · Условие корректности, байесовский вывод и ошибка выборки

• При P(B)>0 условная вероятность вычисляется по формуле P(A|B)=P(A∩B)/P(B): ограничьте генеральную совокупность множеством B перед вычислением доли элементов, принадлежащих A. Независимость означает P(A∩B)=P(A)P(B), что эквивалентно P(A|B)=P(A) при ненулевом знаменателе. Взаимоисключающие события с положительными вероятностями не могут быть независимыми, поскольку их совместная вероятность равна нулю. Выборка без возвращения обычно изменяет последующие вероятности; фиксированный знаменатель для последовательных выборок описывал бы другой эксперимент.
• Постройте совместные вероятности, умножая долю предшествующей категории на соответствующую условную вероятность. Если D — это заболевание, а + — положительный результат, то P(D∩+)=P(D)P(+|D). Общая вероятность положительного результата равна P(D)P(+|D)+P(not D)P(+|not D), поскольку эти случаи несовместны и охватывают все возможные положительные результаты. Формула Байеса делит первое совместное вероятность на эту сумму. Чувствительность определяется как P(+|D), специфичность как P(−|not D), а ложноположительная скорость равна единице минус специфичность.
• Для гипотетического теста с распространенностью 2%, чувствительностью 90% и специфичностью 95% для наглядности возьмите популяцию size 10,000. Из 200 человек с заболеванием 180 дадут положительный результат. Из 9,800 без него 490 также дадут положительный результат. Следовательно, 180 из 670 положительных результатов соответствуют заболеванию: апостериорная вероятность составляет 18/67, примерно 26.9%. Обратное направление условной вероятности дало бы 90%, ответив на другой вопрос. Это математическая модель, а не рекомендация по принятию клинических решений.
• Для независимых одинаково распределенных наблюдений с конечной дисперсией σ² среднее выборочное имеет математическое ожидание μ и дисперсию σ²/n; его стандартная ошибка равна σ/√n. Это мера разброса повторных средних выборочных, а не разброса отдельных наблюдений. Увеличение n в четыре раза уменьшает стандартную ошибку вдвое, а не вчетверо. Данные нормального распределения дают точно нормальное среднее; в противном случае приближение центральной предельной теоремы требует выполнения достаточных условий и размера выборки. Корреляция делает неверным простой расчет дисперсии для независимых величин.

Проверенный пример

Пусть P(A)=0.4, P(B)=0.5 и P(A∩B)=0.3. Тогда P(A|B)=0.6, следовательно, A и B не являются независимыми, так как 0.3≠0.4·0.5. Если переменная имеет стандартное отклонение 12, то независимая выборка размера 36 имеет стандартную ошибку среднего 2. Увеличение размера выборки до 144 дает значение 1; при этом стандартное отклонение отдельных наблюдений остается равным 12.

Распространённая ошибка

Не путайте P(+|D) с P(D|+). Включайте ложноположительные результаты в знаменатель апостериорной вероятности. Стандартное отклонение отдельных наблюдений и стандартная ошибка их среднего имеют разную зависимость от размера выборки.

T.9 · Подобие, масштабирование и конические линии расстояний

• Треугольники подобны, если их соответственные углы равны; тогда равны и их соответственные отношения сторон. Запишите соответствие вершин явно. Если в треугольнике APQ угол A равен углу A у ABC, а угол P равен углу C, то упорядоченное соответствие: A↔A, P↔C, Q↔B. Следовательно, AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. Сторона AP лежит на AB, но соответствует AC; сопоставление по расположению стороны или по букве P может дать неверное отношение.
• При общем коэффициенте масштабирования длин k>0 длины умножаются на k, площади на k², объемы на k³. Увеличение длины на 30% означает k=1.30, следовательно, увеличение площади составляет 1.30²−1=0.69, или 69%; это не 60%. Для подобных тел с отношением объемов 27, отношение длин равно 3, а отношение площадей поверхности — 9. Процентные изменения и абсолютные разности — разные величины; записывайте отношение нового к старому, прежде чем преобразовать его в проценты.
• Окружность фиксирует расстояние до одной точки. Эллипс фиксирует сумму расстояний до двух фокусов. Гипербола фиксирует модуль разности этих расстояний; парабола фиксирует равенство расстояния до фокуса и директрисы. Это определения множеств точек, а не наброски для заучивания. Для фокусов (−c,0) и (c,0), эллипс использует сумму 2a, где a>c. Невырожденная гипербола использует модуль разности 2a, где 0<a<c; знак разности различает ее две ветви.
• Для гиперболы с горизонтальной действительной осью c²=a²+b², а уравнение имеет вид x²/a²−y²/b²=1. Пусть r_A — расстояние до (−c,0), а r_B — расстояние до (c,0). Условие r_A−r_B=2a>0 выбирает правую ветвь x≥a; отрицательное условие выбирает левую. Возведение в квадрат может потерять этот знак, поэтому после получения уравнения проверьте исходное условие расстояния. Нулевая разность дает серединный перпендикуляр, а не гиперболу; разность, превышающая расстояние между фокусами, невозможна по неравенству треугольника.

Проверенный пример

Пусть AB=10, AC=15 и BC=20. Точка P на AB имеет AP=6, а Q на AC образует угол APQ, равный углу ACB. Тогда AP/AC=6/15=2/5, откуда PQ=8 и AQ=4. Отдельно, фокусы в (−5,0),(5,0) и разность «расстояние до левого минус расстояние до правого», равная 6, дают a=3, b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 при x≥3. Точка (−3,0) удовлетворяет квадрату уравнения, но не условию со знаком.

Распространённая ошибка

Сопоставляйте углы перед сторонами. Проценты площадей используют квадрат коэффициента длин. Квадратное уравнение расстояния может описывать обе ветви, даже если в исходной задаче требуется только одна.

C.8 · Тригонометрическая фаза и параметрические кривые

• Для y=A cos(ωx−φ) при A>0 и ω>0, амплитуда равна A, период составляет 2π/ω, а горизонтальный сдвиг равен φ/ω. Фазовый угол φ измеряется внутри аргумента косинуса; он сам по себе не является горизонтальным сдвигом, если ω≠1. Начинайте с расстояния от пика до пика для определения периода и расстояния от средней линии до пика для амплитуды. Чтобы найти фазу, подставьте известную точку и проверьте направление движения там. Эквивалентные фазы отличаются на 2π.
• Для y=−2 cos(3x) перепишите модель с положительной амплитудой как 2 cos(3x−π). Её амплитуда равна 2, период составляет 2π/3, а фаза — π; эквивалентный сдвиг вправо равен π/3. Максимумы достигаются там, где 3x−π является кратным 2π. Точка графика при x=0 и y=0 сама по себе не может однозначно определить фазу: для различения возможных углов нужны значения производных или дополнительная точка. Важно учитывать единицы измерения и конвенции для углов; стандартные тригонометрические производные в обычном анализе используют радианы.
• Параметрическая кривая задаётся уравнениями x=x(t), y=y(t). Исключение параметра t описывает множество точек, но может привести к потере ограничений и направления движения. Для x=cos³t, y=sin³t действительные кубические корни дают |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1 — это астроид с остроконечными точками на осях. При изменении t от 0 до 2π кривая начинается в точке (1,0), проходит через (0,1) при t=π/2 и движется против часовой стрелки. Ограничение t интервалом [0, π/2] даёт только дугу в первом квадранте, а не всю неявную траекторию.
• Если dx/dt≠0, то dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). Горизонтальная касательная обычно требует dy/dt=0 и dx/dt≠0; вертикальная касательная предполагает обратные условия. Если обе производные обращаются в ноль, следует исследовать предел или локальное разложение, а не принимать 0/0 за наклон. Для x=t², y=t³ при t=0 отношение для t≠0 равно 3t/2 и стремится к нулю: остроконечная точка имеет горизонтальную касательную. Нулевая скорость по параметру сама по себе не является локальным максимумом или минимумом функции y от x.

Проверенный пример

Для y=−2 cos(3x), минимумы включают x=0, максимумы включают x=π/3. Фазовое представление 2 cos(3x−π) даёт те же значения. Для x=2 cos t,y=sin t, исключение параметра даёт x²/4+y²=1; при t=π/4, dx/dt=−√2 и dy/dt=√2/2, следовательно, наклон −1/2. Полный параметрический интервал [0,2π] обходит эллипс один раз против часовой стрелки.

Распространённая ошибка

Фазовый угол и горизонтальный сдвиг различаются множителем частоты. Невыраженное уравнение может добавить неотслеживаемые части кривой. Если обе параметрические производные обращаются в ноль, используйте локальный анализ вместо того, чтобы помечать каждую такую точку как экстремум.

T.10 · Векторная геометрия, проекции и ориентированная площадь

• Для ненулевых вещественных векторов u и v справедливо u·v=|u||v| cos θ. Положительное, нулевое или отрицательное скалярное произведение соответствует острому, прямому или тупому меньшему углу. Скалярная проекция вектора v на направление u равна (v·u)/|u|; векторная проекция — ((v·u)/(u·u))u. Разность между вектором и его проекцией ортогональна u. Не путайте векторную проекцию с её знаковой скалярной компонентой. Нулевой вектор ортогонален любому вектору, но не имеет определённого направления угла.
• Для трёхмерных векторов u×v перпендикулярен обоим векторам, а его длина равна |u||v| sin θ. Координатный расчёт производится по формуле (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). Эта длина представляет собой площадь параллелограмма, поэтому треугольник, образованный двумя векторами-сторонами, имеет половину этой площади. Изменение порядка множителей меняет знак векторного произведения, но сохраняет площадь. Строите оба вектора-стороны из одной вершины; пересечение двух независимых радиус-векторов обычно даёт неправильную площадь треугольника.
• Плоскость, проходящая через точку p с ненулевым нормалью n, задаётся уравнением n·(x−p)=0. Расстояние от точки q до плоскости равно |n·(q−p)|/|n|; знаменатель нормализует масштаб уравнения. Смешанное произведение u·(v×w) даёт объём параллелепипеда со знаком; его модуль является геометрическим объёмом. Равенство смешанного произведения нулю означает линейную зависимость трёх векторов-рёбер, а не обязательно то, что каждая пара перпендикулярна или параллельна.
• Для четырех плоских векторов существует шесть упорядоченных скалярных произведений. Конфигурация e₁,−e₁,e₂,−e₂ имеет два отрицательных произведения и четыре нуля; e₁,e₁,e₂,e₂ имеет два положительных произведения и четыре нуля. Четыре ненулевых вектора не могут иметь все попарные скалярные произведения отрицательными. Упорядочьте их направления по кругу: каждый последовательный угловой зазор должен был бы превышать 90°, что привело бы к сумме четырех зазоров выше 360°. Нулевой вектор не может обеспечить требование строгого отрицания, поскольку его скалярные произведения обращаются в ноль.

Проверенный пример

При p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0), рёбрами являются u=(2,0,0), v=(0,3,0). Их векторное произведение равно (0,0,6), давая площадь треугольника 3. Для w=(3,4) и u=(1,0), проекция вектора равна (3,0), а ортогональная составляющая равна (0,4). Плоскость 2x−y+2z=6 имеет длину нормали 3, поэтому расстояние от начала координат равно 6/3=2.

Распространённая ошибка

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, поэтому для треугольника разделите его пополам. Скалярное произведение, равное нулю, — это алгебраическое утверждение об ортогональности, даже для нулевого вектора. Расстояние от плоскости должно быть разделено на длину нормального вектора.

C.9 · Интегрирующий множитель и неоднородные дифференциальные уравнения

• Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид y′+p(x)y=q(x) на интервале, где его коэффициенты непрерывны. Оно не обязательно является разделимым. Задайте μ(x)=exp(∫p(x)dx). Поскольку μ′=pμ, умножение дает (μy)′=μq, откуда y=μ⁻¹(∫μq dx+C). Выберите любой удобный первообразный для p; константа интегрирования лишь масштабирует μ и сокращается в решении. Применяйте начальные данные после интегрирования и исключайте любые особые точки коэффициентов из выбранного интервала.
• Для y′+2xy=x с условием y(0)=1, имеем μ=e^(x²). Тогда (e^(x²)y)′=x e^(x²), интеграл которого равен e^(x²)/2+C. Следовательно, y=1/2+C e^(−x²), а начальное условие дает C=1/2. Прямая подстановка проверяет y′+2xy=x. Интегрирующий множитель превращает левую часть в производную произведения; это не дополнительный множитель, который остается при умножении исходной правой части в финальном ответе.
• Для ay″+by′+cy=r(x) с nonzero a решите характеристическое уравнение aλ²+bλ+c=0 для однородной части. Различные действительные корни дают две экспоненты; кратный корень λ дает (C₁+C₂x)e^(λx); комплексные корни α±iβ дают e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). Полное решение есть y_h+y_p. Многочленовое вынуждающее воздействие предполагает многочленную пробную частную часть; экспоненциальное или синусоидально-косинусоидальное воздействие предполагает соответствующий семейство, с достаточным количеством коэффициентов для учета дифференцирования.
• Если пробная частная часть дублирует однородное решение, она не может воспроизвести вынуждающее воздействие: умножьте на x один раз для простой корня, дважды для кратного корня. Для y″−3y′+2y=e^x наивное Ke^x аннигилируется. Попытка Kxe^x дает −Ke^x, поэтому y_p=−xe^x. Начальные условия определяют константы однородного решения только после добавления y_p. Подставьте итоговую функцию в исходное уравнение для проверки знаков и вынуждающего воздействия; проверка только начальных значений не может верифицировать дифференциальное уравнение.

Проверенный пример

Для y″−3y′+2y=4, характеристические корни равны 1 и 2. Константная частная часть y_p=2 дает 2y_p=4, так что y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2. Для y′+2xy=x и y(0)=1, отдельное решение первого порядка имеет вид y=(1+e^(−x²))/2. Эти примеры иллюстрируют различные методы; ни одно уравнение не становится однородным только потому, что его левая часть линейна.

Распространённая ошибка

Сохраните частное решение. Резонансная пробная часть требует множителя x. Вывод с использованием интегрирующего множителя применяется на допустимом интервале коэффициентов и не должен включать деление на y или молчаливое отбрасывание нулевых решений.

T.11 · Слабые композиции, инварианты циклов и трассировка блок-схем

• Количество неотрицательных целочисленных решений уравнения x_₁+⋯+x_k=n равно C(n+k−1,k−1) при n≥0 и k≥1. Представьте n одинаковых звезд, разделенных на k именованных ящиков, с помощью k−1 черт; соседние черты и черты на концах позволяют нулевые значения. Ящики различимы, объекты нет. Подсчет различных токенов потребовал бы независимого назначения каждого токена, что дало бы k^n до учета других ограничений. Определяйте модель по тому, чем являются объекты и получатели, а не по знакомому виду биномиального коэффициента.
• Для положительных распределений x_i≥1 положите z_i=x_i−1; оставшаяся сумма равна n−k, что дает C(n−1,k−1) при n≥k. Более общие нижние границы x_i≥a_i обрабатываются вычитанием каждого a_i. Наличие хотя бы одного нуля является дополнением ко всем положительным элементам: вычтите C(n−1,k−1) из общего числа неотрицательных решений. Пересекающиеся случаи, такие как ровно два пустых ящика, требуют другого подсчета; вычитание случаев с каждым пустым ящиком независимо приводит к двойному учету их пересечений.
• Пройдите по блок-схеме по одному выполненному оператору за раз, записывая переменные в таблице. Различайте присваивание и математическую проверку равенства; правая часть присваивания использует старое значение до замены. Записывайте, какой ветвью выполняется следующий шаг и какие переменные сбрасываются. Новый кандидат внешнего цикла может обнулить внутреннюю сумму без сброса самого кандидата. Для процесса, добавляющего 1,3,5,… к S начиная с нуля, после m сложений S=m², а следующее слагаемое равно 2m+1.
• Инвариант цикла верен до и после каждой итерации. Инвариант суммы квадратов верен изначально при m=0 и сохраняется, так как m²+(2m+1)=(m+1)². Сам по себе инвариант не доказывает завершение. Чтобы проверить, является ли целое число N≥0 квадратом, прибавляя нечетные числа до тех пор, пока S≥N, S растет неограниченно; эквивалентно, m увеличивается и должно достичь предела, такого как N. При выходе равенство означает квадрат, а превышение порога — неквадрат. Распечатанное значение должно быть достигнуто на фактическом пути выполнения; правдоподобная числовая закономерность сама по себе не является трассировкой.

Проверенный пример

Распределите 11 одинаковых токенов среди 4 именованных ящиков. Число неотрицательных распределений равно C(14,3)=364; число строго положительных распределений равно C(10,3)=120. Следовательно, 244 распределений имеют хотя бы один пустой ящик. Для теста нечетной суммы при N=10, S progresses 0,1,4,9,16; он превышает порог и отклоняет 10. Для N=9 он завершается при S=9 после трех сложений. Следующие слагаемые равны 1,3,5,7,9; столбцы суммы и следующего слагаемого нельзя путать.

Распространённая ошибка

Одинаковые объекты и различные объекты используют разные модели. Хотя бы один пустой ящик — это не то же самое, что ровно один. В блок-схеме сохраняйте порядок обновления и сбрасывайте только те переменные, которые фактически сбрасываются на выполняемом пути.

C.10 · Непроизводное дифференцирование и обратный якобиан

• Для дифференцируемого отображения F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)) его якобиан равен J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. Малые изменения удовлетворяют [dx,dy]ᵀ=J[du,dv]ᵀ первого порядка. Чтобы найти u_x, удерживая y фиксированным, продифференцируйте оба определяющих уравнения по x: f_u u_x+f_v v_x=1 и g_u u_x+g_v v_x=0. Это связанная линейная система, а не два независимых скалярных правила обратного значения.
• Если f и g непрерывно дифференцируемы в окрестности точки и det J=f_u g_v−f_v g_u отличен от нуля там, теорема о функциональном inverse обеспечивает дифференцируемый локальный inverse. Его производная равна J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. Таким образом, u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J и v_y=f_u/det J. Вычисляйте каждую производную в соответствующей точке. Локальный inverse не обязательно распространяется на глобальный.
• Для неявных уравнений H(u,v,x,y)=0 и K(u,v,x,y)=0, дифференцируйте, фиксируя запрашиваемую независимую координату. Решите [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x]ᵀ=−[H_x,K_x]ᵀ. Определитель в неизвестных переменных u,v должен быть отличен от нуля для использования обычной теоремы о неявной функции. Знаки справа появляются при переносе известных производных в другую сторону. Если определитель обращается в ноль, эта теорема не дает ответа; она сама по себе не доказывает отсутствие ни inverse, ни решения неявной функции.
• Скалярное упрощение du/dx=1/(dx/du) справедливо для обратной функции одной переменной с ненулевой производной, но обычно не работает для связанной системы, поскольку v изменяется, чтобы y оставалось фиксированным. Для x=u+v, y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] имеет определитель 1 и обратную матрицу [[2,−1],[−1,1]]. Следовательно u_x=2, в то время как 1/f_u=1. Обратная якобиан преобразует дифференциальные чувствительности; интеграл при замене переменных вместо этого использует абсолютное значение определителя для масштабирования площади или объема, а не выбранный элемент обратной матрицы.

Проверенный пример

Пусть x=u²+v и y=u−v. В точке (u,v)=(1,0) выходом является (1,1), а матрица Якоби J=[[2,1],[1,−1]] имеет определитель −3. Обратная матрица [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], поэтому u_x=1/3 и v_y=−2/3 в этой точке. Умножение J на эту обратную матрицу даёт единичную. Реципрок 1/f_u=1/2 не равен u_x, потому что изменение u также требует изменения v для сохранения фиксированного значения y.

Распространённая ошибка

Дифференцируйте оба уравнения и укажите, какой выход является фиксированным. Ненулевой определитель гарантирует существование локальной обратной матрицы при выполнении условий регулярности; нулевой определитель не является доказательством невозможности. Используйте элемент обратной матрицы для чувствительностей и абсолютное значение определителя для интегрирования.

A.7 · LU-факторизация и нуль-размерность составных отображений

• Факторизация A=LU представляет квадратную матрицу как нижнюю треугольную L и верхнюю треугольную U. При единичной диагонали L прямая подстановка особенно проста. Неинвертируемая матрица может не допускать такой формы без перестановок строк: нулевой ведущий элемент требует перестановки. Для PA=LU решите Ly=Pb, затем Ux=y. Перестановка действует как на правую часть, так и на матрицу коэффициентов. Ненулевые главные миноры оправдывают обычное исключение без перестановок, а не только инвертируемость.
• В системе Ly=b вычислите y сверху вниз, вычитая уже известные члены; делите на текущий диагональный элемент, если он не равен единице. В системе Ux=y вычисляйте x снизу вверх. Для каждого уравнения выполните обратную подстановку в исходную строку в качестве проверки. Повторное использование LU для множества правых частей позволяет избежать повторения процесса исключения: плотная факторизация требует работы кубического порядка по размерности, тогда как каждое треугольное решение требует работы квадратического порядка. Точная арифметика может проверять малые примеры; численный выбор ведущего элемента снижает некоторые проблемы округления, но не может устранить присущую плохую обусловленность.
• Для B:V→W и A:W→Z, ker B содержится в ker(A∘B), но последнее может быть больше. Дополнительные векторы — это те, которые отображаются B в ker A. Ограничьте B на ker(A∘B): его образ равен im B∩ker A, а ядро равно ker B. Теорема о ранге и дефекте для этого ограниченного отображения дает dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A). Именно пересечение, а не все ядро A, определяет дополнительную дефектность.
• Для эндоморфизмов R⁶ с дефектом A=2 и дефектом B=3, ранг B=3, а размерность пересечения может варьироваться от 0 до 2. Таким образом, дефект A∘B варьируется от 3 до 5. Границы зависят от общего промежуточного пространства: для подпространств размерностей r и s в m-мерном пространстве их пересечение имеет размерность между max(0,r+s−m) и min(r,s). Изменение порядка композиции может изменить ее дефект, даже если AB и BA определены. Выбирайте совместимые пространства перед применением этих формул.

Проверенный пример

Пусть L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]], U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]], и b=(−1,−1,12). Прямая подстановка дает y=(−1,1,8). Обратная подстановка дает x₃=2, x₂=(1−4)/3=−1, и x₁=(−1−(−1)+2)/2=1. Следовательно x=(1,−1,2). Умножение Ux дает y, а умножение Ly дает b, независимо проверяя порядок факторизации.

Распространённая ошибка

Решайте сначала с L, затем с U, и переставляйте b, если PA=LU. Дефект композиции не является автоматически суммой двух дефектов; только пересечение образа и ядра добавляется к дефекту B.

C.11 · Интегрирование по частям, перестановка порядка и симметрия

• Интегрирование по частям следует из правила дифференцирования произведения: ∫u dv=uv−∫v du. Для определенных интегралов включите граничный член на обоих концах. При I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt выберите u=(ln t)^n и dv=dt. Для n≥1 нижняя граница обращается в ноль, что дает I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). Знак «плюс» нарушил бы тождество дифференцирования. Сохраняйте тот же нижний предел в рекуррентной формуле; изменение меняет константы.
• Для несобственных интегралов сначала примените тождество на конечных пределах, а затем обоснуйте предельный переход и оставшийся интеграл. Если ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π, положите u=x и dv=x e^(−x²)dx для ∫x²e^(−x²)dx. Поскольку v=−e^(−x²)/2 и x e^(−x²)→0 на обоих бесконечностях, полный второй момент равен √π/2. Четность дает момент для положительной половины оси √π/4. Исчезнувший граничный член является частью доказательства, а не автоматическим свойством любого несобственного интеграла.
• Чтобы изменить порядок ∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx, опишите треугольник 0≤x≤y≤1, а затем перепишите его как ∫₀¹∫₀ʸF(x,y)dx dy. Меняются как внешний интервал, так и внутренние пределы; простая замена символов меняет область. Для F=e^(y²), интегрирование по x сначала дает ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2. Непрерывность на этом компактном треугольнике делает замену порядка допустимой; сингулярные или условно сходящиеся случаи требуют более тщательного подхода.
• Если интегрируемая функция на [a,b] удовлетворяет условию f(a+b−x)=−f(x), симметрия отражения приводит к тому, что ее интеграл равен своему отрицательному значению, то есть нулю. Для sin(2mx)/sin x на [0,π] при целом положительном m замена x↦π−x меняет знак числителя и сохраняет знаменатель. Казущиеся сингулярности на границах являются устранимыми: пределы равны 2m в нуле и −2m в точке π. Проверьте эти пределы перед применением симметрии; сокращение не заменяет интегрируемость.

Проверенный пример

Для I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt рекуррентная формула дает x(ln x)²−2I₁(x), где I₁(x)=x ln x−x+1. Следовательно, I₂=x[(ln x)²−2ln x+2]−2. Константа −2 обеспечивает выполнение условия I₂(1)=0. Отдельно, изменение порядка треугольного интеграла e^(y²) порождает множитель y, равный длине внутреннего отрезка по x; потеря этого множителя вернула бы исходную сложность и изменила значение.

Распространённая ошибка

Несобственное интегрирование по частям требует предельных значений на границах. Восстановите область перед изменением порядка. Нестандартный вид отраженного подынтегрального выражения должен быть интегрируемым, включая любые устранимые границы.

C.12 · Связанные скорости и устранимые пределы частного

• Для величины V, зависящей от изменяющейся глубины h(t), правило сложной функции дает dV/dt=V′(h) dh/dt. Для опорожняющегося резервуара dh/dt<0, поэтому знак dV/dt отрицателен; модуль расхода равен её противоположному значению. Нарисуйте геометрию и обозначьте мгновенную глубину перед подстановкой числовых значений. Не рассматривайте скорость как статический объем, деленный на прошедшее время, если ситуация не предполагает постоянной средней скорости.
• Сферический резервуар радиуса R имеет радиус поперечного сечения в квадрате R²−(R−h)²=2Rh−h² на глубине h от дна. Интегрирование этих круглых площадей дает объем колпака V(h)=π(Rh²−h³/3), для 0≤h≤2R. Его производная π(2Rh−h²) представляет текущую площадь поперечного сечения. При R=3, h=1, dh/dt=−1/4, знаковая скорость изменения объема равна −5π/4, а величина расхода 5π/4. Формула работает как для малых, так и для больших колпаков в пределах указанного диапазона.
• Если f и g непрерывно дифференцируемы в окрестности нуля, f(0)=g(0)=0 и g′(0)≠0, то f(x)/g(x) стремится к f′(0)/g′(0). Это следует из f(x)=f′(0)x+o(x) и g(x)=g′(0)x+o(x); непрерывность g′ сохраняет определенность дроби в окрестности, кроме самого нуля. Подстановка этого предела дает непрерывное продолжение. Доказательство не требует nonzero f′(0), и оно не доказывает дифференцируемость расширенной дроби.
• Для f(x)=x|x| и g(x)=x обе функции непрерывно дифференцируемы, f(0)=g(0)=0 и g′(0)=1. Их частное для x≠0 равно |x|, которое непрерывно продолжается в нуле, но имеет там unequal one-sided derivatives (разные односторонние производные). Для выражения (f²−f)/(2g−g³) вынесите общий множитель как (f/g)(f−1)/(2−g²); его устранимый предел равен −f′(0)/(2g′(0)). Дополнительные множители стремятся к −1 и 2. Различайте предел частного и производную его продолжения.

Проверенный пример

Для сферы с R=3 и глубиной h=1, площадь поперечного сечения равна π(6−1)=5π. Уменьшение глубины на 1/4 за единицу времени означает уменьшение объёма на величину 5π/4 в единицу времени. Для f(x)=sin(2x), g(x)=3x, отношение продолжается в точке ноль со значением 2/3. Этот предел не говорит о размере резервуара и не должен подставляться как скорость производной без определения зависимых величин.

Распространённая ошибка

Используйте мгновенную площадь поперечного сечения, а не общую поверхность резервуара. Сообщите об изменении объема со знаком или о положительном оттоке, как требуется. Конечный устранимый предел устанавливает непрерывность, а не дифференцируемость заполненной дроби.

T.12 · Метрическая полнота и замыкание от базиса

• Для инъективного отображения h:X→R, d(x,y)=|h(x)−h(y)| является метрикой: симметрия и неравенство треугольника следуют из R, а инъективность обеспечивает d(x,y)=0 только когда x=y. Отображение h является изометрией на свой образ h(X). Если h не инъективно, эта конструкция может быть лишь псевдометрикой. Ограниченные расстояния не доказывают полноту пространства, и знакомый набор точек может демонстрировать совершенно иное поведение Коши при разных метриках.
• Обратимая метрика полна тогда и только тогда, когда образ h(X) полон в обычной вещественной метрике. Замкнутое подмножество R полно. Для h(x)=arctan x на R образом является (−π/2,π/2), которое не содержит своих концов. Последовательность n является последовательностью Коши в обратимой метрике, поскольку arctan n→π/2, но ни одно действительное x не удовлетворяет условию arctan x=π/2, поэтому метрика неполна. Для h(x)=x³ образом является всё R, и обратимая метрика полна. Топологическая эквивалентность сама по себе не сохраняет полноту.
• В топологии с базисом x лежит в замыкании A, если каждое базовое открытое окружение x пересекается с A. Это тест принадлежности, а не автоматически операция с евклидовскими концами. Базис должен покрывать пространство, и для точки в двух базисных множествах должно существовать меньшее базисное множество, содержащее её в их пересечении. Точка может лежать в замыкании синглтона, даже если она не является точкой этого синглтона; такая возможность зависит от топологии.
• На X={2,3,4,…} возьмем базисные множества U_k={n in X: n divides k}, для k≥2. Они покрывают X, так как x∈U_x; пересечения равны U_gcd(k,l), когда НОК не менее 2, или пустые. Точка x лежит в замыкании {n} тогда и только тогда, когда каждое k, кратное x, также кратно n: эквивалентно, n делит x. Проще говоря, наименьшее базовое окружение U_x содержит n именно тогда, когда n делит x, и каждое другое окружение, содержащее x, включает эти делители. Таким образом, замыкание {8} состоит из положительных кратных 8, а не делителей 8.

Проверенный пример

При d(x,y)=|arctan x−arctan y| целочисленная последовательность стремится к отсутствующему концу образа, а не к точке R, поэтому она является последовательностью Коши, но не имеет предела в этом пространстве. В базисе делителей 16 лежит в замыкании {8}, поскольку любое базисное множество, содержащее 16, также содержит 8. Но 4 нет: U_4={2,4} является окрестностью 4, не содержащей 8. Это явно разделяет кратные и делители.

Распространённая ошибка

Предел Коши должен принадлежать тому же пространству. Полнота — это метрическое свойство, а не просто топологическое. Для замыкания проверяйте каждую окрестность кандидата, а не каждую окрестность единичного значения.