GRE · GRE Subject Test

GRE Mathematics

Экзаменационные билеты, образцы и документы программы для этого курса.

Раздаточные материалы, рабочие листы и слайды

Общие документы по темам сохраняют исходные названия курса и темы. Используйте спецификацию выбранной вами экзаменационной системы для охвата, уровня сложности и требований к экзамену.

Раздаточные материалы · GRE Subject Test · GRE Mathematics (31)

Листы заданий · GRE Subject Test · GRE Mathematics (31)

Презентационные слайды · GRE Subject Test · GRE Mathematics (31)

Слайды с разбором упражнений · GRE Subject Test · GRE Mathematics (31)

Учебные модули и цели обучения

Эти уроки охватывают выбранные цели курса. Проверьте оставшиеся пробелы в материале; это не является полной программой подготовки.

Уроки →Практика лексики →

C.1 · Математический анализ одной переменной и его приложения

Use limits, continuity and differentiability
Apply derivatives, integrals and the fundamental theorem
Recognise Riemann sums and distinguish them from infinite series

непрерывность: Совпадение значения функции с её пределом
конвергенция: Стремление к конечному предельному значению

C.2 · Математический анализ нескольких переменных и векторный анализ

Compute partial derivatives, gradients and directional derivatives
Use multiple integrals and coordinate changes
Use derivative conditions to distinguish planes from curved surfaces

наклона (градиента): Вектор частных производных
якобиан: Локальное масштабирование площади или объёма при замене координат

A.1 · Линейная алгебра

Relate rank, nullity and solutions of linear systems
Analyse vector spaces and linear transformations
Compute eigenvalues, determinants and diagonalisation conditions

ранг: Размерность образа линейного отображения
собственное значение: Скаляр, удовлетворяющий условию Av=λv для ненулевого v

A.2 · Абстрактная алгебра и теория чисел

Use groups, subgroups, homomorphisms and quotient structures
Distinguish rings, integral domains and fields
Apply divisibility, congruences and elementary number theory

гомоморфизм: Отображение, сохраняющее соответствующую операцию
поле: Коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный

T.1 · Математический анализ и топология

Apply sequence and function limit definitions
Distinguish compactness, connectedness and completeness
Use metric-space and elementary topological reasoning

compact (компактная): Каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие
точная верхняя грань (супремум): Наименьшая верхняя грань множества

T.2 · Дискретная математика, теория вероятностей и численные методы

Use counting, recurrences, graph reasoning and logic
Calculate probabilities and distribution properties
Apply numerical approximation and assess error

повторения: Правило, связывающее член последовательности с предыдущими членами
взаимоисключающие: События, которые не могут произойти одновременно

T.3 · Функции комплексного переменного и вычеты

Test complex differentiability
Use contour integrals and residues
Evaluate contour integrals with simple and higher-order pole residues

аналитическая функция: Комплексно-дифференцируема во всей окрестности
остаток: Коэффициент при (z−a)^−1 в ряде Лорана

C.3 · Дифференциальные уравнения и начальные условия

Solve separable first-order equations
Solve constant-coefficient second-order equations
Use initial conditions and uniqueness conditions

начальное условие: Значение решения или его производной, заданное в начальной точке
характеристический корень: Корень многочлена, определяющего экспоненциальные решения

A.3 · Группы, косоды и фактор-отображения

Verify group structure and compute element orders and subgroup indices
Use kernels and images to identify quotient groups
Distinguish normal subgroups from arbitrary subgroups
Classify permutation conjugacy by cycle type

класс вычета: Сдвиг подгруппы, образующий один элемент разложения на смежные классы
нормальная подгруппа: Подгруппа, инвариантная относительно сопряжения любым элементом группы

A.4 · Кольца, идеалы и модули

Distinguish units, zero divisors and integral domains
Identify ideals and interpret quotient rings
Compare modules over rings with vector spaces over fields
Derive Boolean-ring properties without assuming commutativity

идеал: Аддитивная подгруппа кольца, поглощающая умножение на все элементы кольца
торсион: Элемент аннулируется ненулевым скаляром в указанном модуле

A.5 · Многочлены и расширения полей

Test polynomial irreducibility over the specified field
Construct small finite fields from irreducible polynomials
Use extension degrees and the tower law
Use cyclotomic roots and coefficient relations to compute sums and products

неразложимый многочлен: Многочлен положительной степени, не допускающий разложения на множители меньшей положительной степени над указанным полем
степень расширения: Размерность поля расширения как векторного пространства над базовым полем

A.6 · Соотношения сравнения, делимость и арифметические функции

Solve linear congruences using gcd conditions
Combine coprime congruences with the Chinese remainder theorem
Apply Euler's theorem only to invertible residues
Use prime-exponent divisibility to find least admissible integers

конгруэнтность: Равенство остатков, поскольку модуль делит их разность
функция Эйлера (тотиент): Количество вычетов, взаимно простых с положительным целым модулем

T.4 · Последовательности, ряды и равномерная сходимость

Use Cauchy, monotone convergence and subsequence criteria
Distinguish pointwise from uniform convergence of functions
Check hypotheses before interchanging limits and integrals

последовательность Коши: Последовательность, чьи достаточно поздние члены произвольно близки друг к другу
равномерная сходимость: Сходимость при одном пороге погрешности, справедливом в каждой точке области определения

T.5 · Открытые множества, компактность и связность

Compute closure, interior and boundary in a stated space
Apply compactness and connectedness to continuous maps
Distinguish relative topology from the ambient Euclidean topology

подпространственная топология: Открытые подмножества, получаемые пересечением подпространства с открытыми множествами окружающей среды
связность: Отсутствие разделения на непересекающиеся непустые относительно открытые подмножества

C.4 · Разложения Тейлора и концы степенных рядов

Construct Taylor polynomials and control approximation error
Determine radii of convergence and test endpoints separately
Differentiate and integrate power series within their interval of convergence

радиус сходимости: Радиус сходимости — расстояние от центра степенного ряда, внутри которого ряд сходится абсолютно
остаток: Погрешность — разность между функцией и её конечным приближением

C.5 · Несобственные интегралы и геометрические приложения

Define improper integrals by limits at each singular boundary
Select area, volume and arc-length formulas from the geometry
Separate convergence of integrals from signed cancellation

несобственный интеграл: Несобственный интеграл, определённый через пределы на бесконечных или особых границах
главное значение: Предел, использующий заданное симметричное сокращение, который может существовать, когда обычный несобственный интеграл расходится

C.6 · Экстремумы многомерных функций и оптимизация с ограничениями

Classify two-variable critical points with the Hessian
Use Lagrange multipliers with a regular constraint
Compare extrema and attainable values under regular constraints

гессиан: Матрица вторых частных производных, используемая для изучения локальной кривизны
метод множителей Лагранжа: Скаляр, связывающий градиенты целевой функции и регулярного ограничения в точке экстремума

C.7 · Смена координат и теоремы о векторных интегралах

Transform double and triple integrals with their Jacobians
Apply Green, Stokes and divergence theorems with correct orientation
Check domain singularities before asserting path independence

дивергенция: Дивергенция — сумма частных производных по координатам векторного поля, измеряющая локальный outward flow (поток наружу)
консервативное поле: Консервативное векторное поле, равное градиенту скалярного потенциала, с независимыми от пути линейными интегралами

T.6 · Функции, обратные ветви и композиция

Distinguish injectivity and surjectivity using the stated domain and codomain
Choose and verify an inverse branch by composing in both directions
Trace repeated function composition while preserving the domain

биекция: Функция, являющаяся одновременно инъективной и сюръективной между своими заданными множествами
инволюция: Функция, композиция которой с самой собой тождественна на её области определения

T.7 · Образы множеств, эквивалентные отношения и логическое отрицание

Prove image identities and distinguish inclusion from equality
Check reflexivity, symmetry and transitivity with explicit cases
Negate implications and quantified statements without changing their scope

прообраз: Множество аргументов, значения которых принадлежат заданному целевому множеству
отношение эквивалентности: Отношение, которое является рефлексивным, симметричным и транзитивным

T.8 · Условие задачи, байесовский вывод и ошибка выборки

Separate conditional, joint and independent-event probabilities
Calculate posterior probabilities with a complete base-rate table
Use variance and sample size to determine a sample mean standard error

апостериорная вероятность: Вероятность, условная на наблюдаемые данные после учёта априорных долей
стандартная ошибка: Стандартное отклонение статистики по повторным выборкам

T.9 · Подобие, масштабирование и конические траектории

Match triangle vertices by equal angles before forming a side ratio
Apply length, area and volume scale factors to geometric changes
Identify conic distance conditions and retain a signed hyperbola branch

сходство: Равенство соответственных углов и общее отношение соответственных длин
фокус: Фиксированная точка, используемая в определении расстояния для конического сечения

C.8 · Тригонометрическая фаза и параметрические кривые

Distinguish amplitude, angular frequency, phase angle and horizontal shift
Eliminate a parameter while retaining its domain and tracing direction
Use parametric derivatives without assuming a vertical tangent is stationary

фазовый угол: Сдвиг фазы внутри аргумента периодической функции, определяемый по модулю полного периода
параметрическая кривая: Кривая, координаты которой задаются как функции общего параметра

T.10 · Векторная геометрия, проекции и ориентированная площадь

Use dot products to classify angles and compute projections
Calculate triangle area and orientation using a cross product
Construct or rule out planar dot-product sign configurations

ортогональный: Наличие нулевого скалярного произведения в вещественном пространстве со скалярным произведением
векторное произведение: Ориентированный перпендикулярный вектор в трех измерениях, величина которого равна площади параллелограмма

C.9 · Интегрирующий множитель и неоднородные дифференциальные уравнения

Solve first-order linear equations using an integrating factor
Construct the homogeneous and particular parts of a constant-coefficient solution
Handle resonance and verify the result in the original equation

интегрирующий множитель: Множитель, преобразующий линейное уравнение первого порядка в производную произведения
частное решение: Частное решение, обеспечивающее заданную неоднородную вынуждающую силу

T.11 · Слабые композиции, инварианты цикла и трассировка блок-схем

Count indistinguishable allocations with nonnegative or positive constraints
Trace a flowchart in statement order with correct reset behaviour
Use a loop invariant and a progress measure to justify an algorithm

слабая композиция: Упорядоченное разложение целого числа на неотрицательные целочисленные слагаемые
инвариант цикла: Свойство, сохраняемое до и после каждой итерации цикла

C.10 · Неявное дифференцирование и обратный якобиан

Differentiate a coupled implicit system as a linear system
Use a nonzero Jacobian determinant to justify a local inverse
Distinguish inverse partial derivatives from scalar reciprocal rules

матрица Якоби: Матрица частных производных первого порядка векторного отображения
локальная обратная функция: Обратное отображение, определённое в окрестностях конкретной входной и выходной точки

A.7 · LU-факторизация и нуль-пространство составных отображений

Solve a factored linear system by forward and backward substitution
Apply row permutations consistently when pivoting is required
Bound the kernel dimension of a composition using image-kernel intersections

прямая подстановка: Решение нижнетреугольной системы снизу вверх, начиная с первого уравнения
нуль- ранг (размерность ядра): Размерность ядра линейного отображения

C.11 · Интегрирование по частям, реверсия порядка и симметрия

Derive integration-by-parts reductions with valid endpoint limits
Reverse a double integral by reconstructing its region
Use reflection symmetry while checking removable endpoint behaviour

интегрирование по частям: Интегральное тождество, выведенное из правила дифференцирования произведения с граничным членом
осевая симметрия (зеркальная симметрия): Связь между значениями подынтегральной функции в точках, симметричных относительно середины отрезка

C.12 · Связанные скорости и устранимые пределы дробей

Translate a geometric rate into a derivative of the relevant quantity
Derive and differentiate a spherical-cap volume formula
Separate continuous quotient extension from differentiable extension

связанные скорости изменения: Скорость, полученная дифференцированием зависимости между изменяющимися величинами
устранимый предел: Конечный предел вблизи, используемый для непрерывного определения недостающего значения функции

T.12 · Метрическая полнота и замыкание через базис

Check a pullback metric using the properties of its defining map
Decide completeness through the image of an isometry
Determine closure using every basic neighbourhood instead of Euclidean intuition

полное метрическое пространство: Метрическое пространство, в котором каждая последовательность Коши сходится к точке этого пространства
база окрестности: Базисные окрестности, достаточные для проверки локальных топологических свойств

Подготовка к этой квалификационной программе

Approximately 66 multiple-choice items in 170 minutes; no separately timed sections. Calculus about 50%, algebra 25%, additional topics 25%. This is graduate-admissions testing of undergraduate mathematics, not an A-level qualification.

Требуются дополнительные учебные материалы

Dedicated undergraduate lessons now supply exact teaching targets for all 66 reviewed GR3768 source items, including LU, integration methods, conjugacy, higher-order residues and alternative metrics/topologies. The source/key/crop review is in bank_review_full.yaml. Broader nonexhaustive official scope and complete-form original practice still require course audit; coordinator-owned native bank integration remains held. These preparation lessons do not certify undergraduate degree mastery.

Спецификации и образцы документов

Материалы курса

Подготовка к курсу

Документы доступны. Заметки, специфичные для экзаменационного органа, тесты и интерактивная практика с прошлыми экзаменами еще не доступны для всех курсов.

Уроки →