Combined events · Eventos combinados
| English | Português |
|---|---|
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | independente |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | mutuamente exclusivos |
| sample space/ˈsæmpl speɪs/ | espaço amostral |
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | diagrama de árvore |
| replacement/rɪˈpleɪsmənt/ | substituição |
Two events at once
- You roll a die and flip a coin. What's the chance of a six AND heads?
- Combined events need two rules: AND (multiply) and OR (add).
Dois eventos ao mesmo tempo
- Você lança um dado e joga uma moeda. Qual a chance de sair um seis E cara?
- Eventos combinados exigem duas regras: AND (multiplicar) e OR (adicionar).
AND — multiply (independent 独立的 events)
- For two independent events (one doesn't affect the other):
$\text{P}(\text{six and heads}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$.
E — multiplique (eventos independentes)
- Para dois eventos independentes (um não afeta o outro):
$\text{P}(\text{six and heads}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$.
Combined events · Eventos combinados
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Combine two events: the area model shows AND (overlap) versus OR (union). · Combine dois eventos: o modelo de área mostra AND (sobreposição) versus OR (união).
For two independent events both happening (AND), you: · Para dois eventos independentes acontecendo ambos (AND), você:
P(A and B) = P(A) × P(B) for independent events. · P(A e B) = P(A) × P(B) para eventos independentes.
OR — add (mutually exclusive 互斥 events)
- For two mutually exclusive events (they can't both happen):
OU — some (eventos mutuamente exclusivos)
- Para dois eventos mutuamente exclusivos (eles não podem acontecer juntos):
Probability tree · Árvore de probabilidade
Multiply the probabilities along each branch; the four outcomes always add up to 1. · Multiplique as probabilidades ao longo de cada ramo; os quatro resultados sempre somam 1.
For mutually exclusive events, P(A or B) = P(A) + P(B). · Para eventos mutuamente exclusivos, P(A ou B) = P(A) + P(B).
Mutually exclusive events cannot both happen, so you add their probabilities. · Eventos mutuamente exclusivos não podem acontecer ambos, então você soma suas probabilidades.
Three ways to show outcomes
- Sample space 样本空间 diagram: a table of every outcome (two dice → $36$ cells).
- Venn diagram: sorts outcomes into overlapping sets.
- Tree diagram 树状图: a branch per stage; multiply along branches, then add the paths you want.
A Venn diagram sorts outcomes: the overlap is $\text{P}(A\text{ and }B)$, and everything inside either circle is $\text{P}(A\text{ or }B)$
Multiply along, add between. On a tree diagram: multiply probabilities along each branch (to get that path's probability), then add the paths you want (to get the total probability).
Três formas de mostrar resultados
- Diagrama do espaço amostral: uma tabela de cada resultado (dois dados → $36$ células).
- Diagrama de Venn: organiza resultados em conjuntos sobrepostos.
- Diagrama de árvore: um ramo por etapa; multiplique ao longo dos ramos, depois some os caminhos desejados.
Um diagrama de Venn organiza resultados: a interseção é $\text{P}(A\text{ and }B)$, e tudo dentro de qualquer círculo é $\text{P}(A\text{ or }B)$
Multiplique ao longo, some entre. Num diagrama de árvore: multiplique as probabilidades ao longo de cada ramo (para obter a probabilidade daquele caminho), depois some os caminhos desejados (para obter a probabilidade total).
On the 6 by 6 grid of two dice (36 cells), how many cells give a total of 7? · Na grade 6 por 6 de dois dados (36 células), quantas células dão um total de 7?
1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 — six cells, so P(7) = 6/36 = 1/6. · 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 — seis células, então P(7) = 6/36 = 1/6.
On a tree diagram, you ______ along branches and add between paths. · Em um diagrama de árvore, você ______ ao longo dos ramos e soma entre os caminhos.
Multiply along each branch to get that path probability, then add the wanted paths. · Multiplique ao longo de cada ramo para obter a probabilidade daquele caminho, depois some os caminhos desejados.
With and without replacement 放回
- With replacement: chances stay the same each time.
- Without replacement (Extended): the total and the count change after each draw.
- Bag of $3$ red, $5$ blue: P(red, red) with replacement $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{64}$. Without replacement $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{28}$.
Venn diagrams show combined events: the overlap (intersection) is AND, the whole region (union) is OR.
Com e sem reposição
- Com reposição: as chances permanecem as mesmas a cada vez.
- Sem reposição (Estendido): o total e a contagem mudam após cada retirada.
- Saco com $3$ vermelhos, $5$ azuis: P(vermelho, vermelho) com reposição $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{64}$. Sem reposição $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{28}$.
Diagramas de Venn mostram eventos combinados: a interseção é E, a região inteira (união) é OU.
Bag of 3 red, 5 blue, two draws WITH replacement. P(red, red) = 9/b. What is b? · Bolsa de 3 vermelhos, 5 azuis, duas retiradas COM reposição. P(vermelho, vermelho) = 9/b. Qual é b?
(3/8) × (3/8) = 9/64, so b = 64. · (3/8) × (3/8) = 9/64, então b = 64.
Same bag, WITHOUT replacement. After one red is taken, how many reds remain? · Mesma bolsa, SEM reposição. Após retirar um vermelho, quantos vermelhos restam?
Started with 3 red; one taken leaves 2 red (out of 7 counters). · Começou com 3 vermelhos; um retirado deixa 2 vermelhos (de 7 contadores).
Exactly one means two paths
- Draw twice from 2 red and 3 blue counters with replacement. Each stage has red $2/5$ and blue $3/5$. Exactly one red includes RB and BR, so $p=(2/5)(3/5)+(3/5)(2/5)=12/25$.
- At least one red is easier by complement: $p=1-(3/5)^2=16/25$. This includes RR as well as the two mixed paths; do not confuse exactly one with at least one.
Exatamente um significa dois caminhos
- Retire duas vezes de 2 contadores vermelhos e 3 azuis com reposição. Cada etapa tem vermelho $2/5$ e azul $3/5$. Exatamente um vermelho inclui RB e BR, logo $p=(2/5)(3/5)+(3/5)(2/5)=12/25$.
- Pelo menos um vermelho é mais fácil pelo complemento: $p=1-(3/5)^2=16/25$. Isso inclui RR além dos dois caminhos mistos; não confunda exatamente um com pelo menos um.
With replacement from 2 red and 3 blue counters, find the probability of exactly one red in two draws. · Com reposição de 2 contadores vermelhos e 3 azuis, encontre a probabilidade de exatamente um vermelho em dois sorteios.
RB and BR give 6/25 + 6/25 = 12/25 = 0.48. · RB e BR resultam em 6/25 + 6/25 = 12/25 = 0.48.
You've got it
- AND → multiply (independent); OR → add (mutually exclusive)
- on a tree: multiply along branches, add the wanted paths
- without replacement, the second probability changes ($\dfrac{3}{8} \to \dfrac{2}{7}$)
Entendeu?
- AND → multiplicar (independentes); OR → somar (mutuamente exclusivos)
- num diagrama de árvore: multiplique ao longo dos ramos, some os caminhos desejados
- sem reposição, a segunda probabilidade muda ($\dfrac{3}{8} \to \dfrac{2}{7}$)