Parallel and perpendicular lines · Linhas paralelas e perpendiculares
| English | Português |
|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | paralelo |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | perpendiculares |
| negative reciprocal/ˈneɡətɪv rɪˈsɪprəkl/ | recíproco negativo |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | mediana perpendicular |
Railway tracks and city grids
- Railway tracks run parallel 平行 — the same gradient, never meeting, stretching to the horizon.
- Streets in a planned city like New York or Barcelona cross at right angles, forming a grid.
- Both ideas — parallel and perpendicular 垂直 — come down to one thing: the gradient.
Trilhos de trem e malha urbana
- Trilhos de trem correm paralelos — a mesma inclinação, nunca se encontrando, estendendo-se até o horizonte.
- Ruas em uma cidade planejada como Nova York ou Barcelona cruzam em ângulos retos, formando uma grade.
- Ambas as ideias — paralelo e perpendicular — resumem-se a uma única coisa: a inclinação.
Parallel lines
- Parallel lines never meet, no matter how far you extend them.
- Distinct nonvertical lines are parallel when they have the same gradient. Vertical lines are parallel too, but have no defined gradient.
- $y = 4x - 1$ and $y = 4x + 7$ are parallel (both have $m = 4$).
Find a parallel line. The line parallel to $y = 4x - 1$ through $(1, -3)$: same gradient $4$, so $-3 = 4(1) + c \Rightarrow c = -7$. The equation is $y = 4x - 7$.
Parallel lines share a gradient; perpendicular gradients multiply to $-1$
Linhas paralelas
- Linhas paralelas nunca se encontram, não importa o quanto você as prolongue.
- Linhas distintas não verticais são paralelas quando possuem a mesma inclinação. Linhas verticais também são paralelas, mas não têm inclinação definida.
- $y = 4x - 1$ e $y = 4x + 7$ são paralelos (ambos têm $m = 4$).
Encontre uma linha paralela. A linha paralela a $y = 4x - 1$ por $(1, -3)$: mesmo gradiente $4$, logo $-3 = 4(1) + c \Rightarrow c = -7$. A equação é $y = 4x - 7$.
Linhas paralelas compartilham um gradiente; gradientes perpendiculares multiplicam-se para dar $-1$
Parallel & perpendicular · Paralelo & perpendicular
y = ax + b
Parallel · Paralelo lines share a gradient; perpendicular gradients multiply to −1. · Paralelas compartilham inclinação; inclinações perpendiculares multiplicam para dar −1.
A line is parallel to y = 4x − 1 and passes through (1, −3). In y = 4x + c, what is c? · Uma linha é paralela a y = 4x − 1 e passa por (1, −3). Em y = 4x + c, qual é c?
Parallel → same gradient 4. −3 = 4(1) + c, so c = −7. · Paralelo → mesma inclinação 4. −3 = 4(1) + c, logo c = −7.
Which line is parallel to y = −2x + 5? · Qual linha é paralela a y = −2x + 5?
Parallel lines have the same gradient. y = −2x − 3 has gradient −2, the same as y = −2x + 5. · Linhas paralelas têm a mesma inclinação. y = −2x − 3 tem inclinação −2, a mesma que y = −2x + 5.
Perpendicular lines (Extended)
- Two lines are perpendicular if they meet at a right angle ($90°$).
- Their gradients multiply to $-1$:
- In words: flip the fraction and change the sign (the negative reciprocal 负倒数).
- Gradient $\dfrac{3}{2}$ → perpendicular gradient $-\dfrac{2}{3}$.
Parallel (cyan): same gradient. Perpendicular (rose + violet): gradients multiply to $-1$.
Linhas perpendiculares (Ampliado)
- Duas linhas são perpendiculares se se encontrarem em um ângulo reto ($90°$).
- Seus gradientes multiplicam-se para dar $-1$:
- Em palavras: inverter a fração e mudar o sinal (o recíproco negativo).
- Gradiente $\dfrac{3}{2}$ → gradiente perpendicular $-\dfrac{2}{3}$.
Paralelas (ciano): mesmo gradiente. Perpendiculares (rosa + violeta): gradientes multiplicam-se para dar $-1$.
A line has gradient 3/2. The gradient of a line perpendicular to it is: · Uma linha tem inclinação 3/2. A inclinação de uma linha perpendicular a ela é:
Flip and change sign: perpendicular gradient = −1 ÷ (3/2) = −2/3. · Inverta e mude o sinal: inclinação perpendicular = −1 ÷ (3/2) = −2/3.
Two perpendicular lines have gradients that multiply to −1. · Duas linhas perpendiculares têm inclinações que multiplicam para dar −1.
m₁ × m₂ = −1 is the defining property of perpendicular gradients. · m₁ × m₂ = −1 é a propriedade definidora de inclinações perpendiculares.
If two lines are perpendicular, then m₁ × m₂ = ______. · Se duas linhas são perpendiculares, então m₁ × m₂ = ______.
The product of perpendicular gradients is always −1. · O produto de inclinações perpendiculares é sempre −1.
Worked example — perpendicular line
- Find the line perpendicular to $y = 2x + 3$ through $(4, 1)$.
- Original gradient $m_1 = 2$, so perpendicular gradient $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.
- Substitute: $1 = -\dfrac{1}{2}(4) + c \Rightarrow 1 = -2 + c \Rightarrow c = 3$.
- The perpendicular line is $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
Don't forget both steps. The perpendicular gradient is flip AND change sign. Gradient $3$ → perpendicular $-\dfrac{1}{3}$ (not $\dfrac{1}{3}$, which would just be the reciprocal).
Exemplo resolvido — linha perpendicular
- Encontre a linha perpendicular a $y = 2x + 3$ por $(4, 1)$.
- Gradiente original $m_1 = 2$, então gradiente perpendicular $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.
- Substitua: $1 = -\dfrac{1}{2}(4) + c \Rightarrow 1 = -2 + c \Rightarrow c = 3$.
- A linha perpendicular é $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
Não esqueça as duas etapas. O gradiente perpendicular é inverta E mude o sinal. Gradiente $3$ → perpendicular $-\dfrac{1}{3}$ (não $\dfrac{1}{3}$, que seria apenas o recíproco).
A line has gradient 5. What is the gradient of a line perpendicular to it? · Uma linha tem inclinação 5. Qual é a inclinação de uma linha perpendicular a ela?
Perpendicular gradient = −1/5 = −0.2. · Inclinação perpendicular = −1/5 = −0.2.
Perpendicular bisector 垂直平分线 (Extended)
- The perpendicular bisector of a segment cuts it in half at a right angle.
- Method (three steps):
- 1. Find the midpoint of the segment.
- 2. Find the perpendicular gradient ($-\dfrac{1}{m}$).
- 3. Use the perpendicular gradient and the midpoint to write the equation.
Bissetriz perpendicular (Ampliado)
- A bissetriz perpendicular de um segmento o divide ao meio em um ângulo reto.
- Método (três passos):
- 1. Encontre o ponto médio do segmento.
- 2. Encontre a inclinação perpendicular ($-\dfrac{1}{m}$).
- 3. Use a inclinação perpendicular e o ponto médio para escrever a equação.
Match each gradient pair (m₁, m₂) to the relationship between the lines. · Combine cada par de inclinações (m₁, m₂) com a relação entre as linhas.
2/3 × (−3/2) = −1 → perpendicular. 4 = 4 → parallel. 1 × (−1) = −1 → perpendicular. 5 × (−5) = −25 ≠ −1 and 5 ≠ −5 → neither. · 2/3 × (−3/2) = −1 → perpendicular. 4 = 4 → paralelo. 1 × (−1) = −1 → perpendicular. 5 × (−5) = −25 ≠ −1 e 5 ≠ −5 → nem um nem outro.
Put the steps for finding the perpendicular bisector of (0, 0) and (6, 2) in order. · Coloque os passos para encontrar a mediatriz de (0, 0) e (6, 2) em ordem.
First find the midpoint, then the segment gradient, then flip-and-sign for the perpendicular gradient, then substitute into y = mx + c. · Primeiro encontre o ponto médio, depois a inclinação do segmento, depois inverta e mude o sinal para a inclinação perpendicular, então substitua em y = mx + c.
City planners and gradient rules
- Manhattan's grid was planned in 1811 with avenues running north-south and streets east-west — all perpendicular.
- In contrast, old European cities have streets that meet at every angle — no gradient rule at all.
- Engineers use perpendicular gradients to design road junctions, railway crossings, and building foundations.
Planejadores urbanos e regras de inclinação
- A grade de Manhattan foi planejada em 1811 com avenidas no sentido norte-sul e ruas leste-oeste — todas perpendiculares.
- Em contraste, cidades europeias antigas têm ruas que se encontram em todos os ângulos — sem nenhuma regra de inclinação.
- Engenheiros usam inclinações perpendiculares para projetar entroncamentos de estradas, passagens de ferrovia e fundações de edifícios.
You've got it
- parallel → same gradient ($m_1 = m_2$)
- perpendicular → gradients multiply to $-1$ ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$, "flip and change sign")
- perpendicular bisector = perpendicular gradient through the midpoint
- parallel to $y = 4x - 1$ through $(1, -3)$ → $y = 4x - 7$
Entendeu?
- paralelo → mesma inclinação ($m_1 = m_2$)
- perpendicular → gradientes multiplicam-se para dar $-1$ ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$, "vire e mude o sinal")
- bissetriz perpendicular = inclinação perpendicular pelo ponto médio
- paralelo a $y = 4x - 1$ através de $(1, -3)$ → $y = 4x - 7$