Standard form
| English | Português |
|---|---|
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | forma padrão |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | inteiro |
From atoms to galaxies
- The width of a hydrogen atom is about $0.000\,000\,000\,106$ metres.
- The distance to the nearest star is about $40\,000\,000\,000\,000$ metres.
- Writing numbers like that is painful — and error-prone. Standard form 科学记数法 fixes both problems.
De átomos a galáxias
- A largura de um átomo de hidrogênio é cerca de $0.000\,000\,000\,106$ metros.
- A distância até a estrela mais próxima é cerca de $40\,000\,000\,000\,000$ metros.
- Escrever números dessa forma é cansativo — e propenso a erros. A notação científica resolve ambos os problemas.
Standard form route
Follow a large or small number into a x 10^n form. · Siga um número grande ou pequeno para a forma x 10^n.
The format $A \times 10^n$
- Standard form writes any number as $A \times 10^n$, where:
- $1 \leq A < 10$ (the "front number" has exactly one digit before the decimal point),
- $n$ is an integer 整数 (positive for big numbers, negative for small ones).
Each tick is ten times bigger than the last. Standard form tells you which tick a number sits near.
O formato $A \times 10^n$
- A forma padrão escreve qualquer número como $A \times 10^n$, onde:
- $1 \leq A < 10$ (o "número frontal" tem exatamente um dígito antes da vírgula decimal),
- $n$ é um número inteiro (positivo para números grandes, negativo para pequenos).
Cada marca é dez vezes maior que a anterior. A forma padrão diz qual marca um número fica próximo.
In standard form, the front number A must satisfy 1 ≤ A < 10.
By definition, A is between 1 (inclusive) and 10 (exclusive) — exactly one digit before the decimal point.
Converting big and small numbers
- Big numbers: count how many places the decimal moves left → positive power.
- $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^6$ (point moves 6 places left).
- Small numbers (less than 1): count how many places the decimal moves right → negative power.
- $0.000\,72 = 7.2 \times 10^{-4}$ (point moves 4 places right).
Quick method. Write the first non-zero digit, then a decimal point, then the remaining significant digits. Count the places you moved: that's $n$.
A galaxy: huge distances are written compactly in standard form
Convertendo números grandes e pequenos
- Números grandes: conte quantas casas a vírgula se move para a esquerda → potência positiva.
- $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^6$ (ponto se move 6 casas para a esquerda).
- Números pequenos (menores que 1): conte quantas casas a vírgula se move para a direita → potência negativa.
- $0.000\,72 = 7.2 \times 10^{-4}$ (ponto se move 4 casas para a direita).
Método rápido. Escreva o primeiro dígito não nulo, depois um ponto decimal, depois os dígitos significativos restantes. Conte as casas que você移动u: esse é $n$.
Uma galáxia: distâncias enormes são escritas compactamente em forma padrão
Write 4 500 000 as A × 10ⁿ. What is the power n?
4 500 000 = 4.5 × 10⁶, so n = 6.
Write 0.00072 in standard form A × 10ⁿ. What is n?
0.00072 = 7.2 × 10⁻⁴, so n = −4.
Calculating in standard form
- Multiply: multiply the fronts, add the powers.
- $(3 \times 10^5) \times (2 \times 10^{-2}) = 6 \times 10^3$.
- Divide: divide the fronts, subtract the powers.
- $(8 \times 10^7) \div (4 \times 10^3) = 2 \times 10^4$.
Adjust if needed. After multiplying, the front number might be $\geq 10$. Adjust: $15 \times 10^3 = 1.5 \times 10^4$.
Calculando em forma padrão
- Multiplicar: multiplique os números frontais, some as potências.
- $(3 \times 10^5) \times (2 \times 10^{-2}) = 6 \times 10^3$.
- Dividir: divida os números frontais, subtraia as potências.
- $(8 \times 10^7) \div (4 \times 10^3) = 2 \times 10^4$.
Ajuste se necessário. Após multiplicar, o número frontal pode ser $\geq 10$. Ajuste: $15 \times 10^3 = 1.5 \times 10^4$.
(3 × 10⁵) × (2 × 10⁻²) = A × 10³. What is A?
3 × 2 = 6 and 10⁵ × 10⁻² = 10³, so the answer is 6 × 10³.
(8 × 10⁷) ÷ (4 × 10³) = A × 10ⁿ. What is n?
8 ÷ 4 = 2 and 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴, so n = 4. · 8 ÷ 4 = 2 and 10⁷ 10³ = 10⁴, so n = 4.
Which is 5 × 10³ × 3 × 10² in correct standard form?
5 × 3 = 15 and 10³ × 10² = 10⁵, giving 15 × 10⁵. Adjust: 1.5 × 10⁶.
Why scientists love standard form
- The speed of light: $3.0 \times 10^8$ m/s — three hundred million metres every second.
- A DNA helix width: $2.0 \times 10^{-9}$ m — two billionths of a metre.
- Compare like quantities with the same units. A length of $2.0\times10^{-6}$ m is $1000$ times a length of $2.0\times10^{-9}$ m; speed cannot be compared with width.
Por que cientistas amam a forma padrão
- A velocidade da luz: $3.0 \times 10^8$ m/s — trezentos milhões de metros a cada segundo.
- A largura de uma hélice de DNA: $2.0 \times 10^{-9}$ m — dois milésimos de bilhão de metro.
- Compare grandezas semelhantes com as mesmas unidades. Um comprimento de $2.0\times10^{-6}$ m é $1000$ vezes um comprimento de $2.0\times10^{-9}$ m; velocidade não pode ser comparada com largura.
Adding needs a common power
- For addition, first write both numbers with the same power of ten: $3.2\times10^5+7\times10^4=(3.2+0.7)10^5=3.9\times10^5$.
- Renormalise after calculating: $(8\times10^3)(4\times10^2)=32\times10^5=3.2\times10^6$. Core calculations in standard form are on calculator Paper 3.
Adição exige potência comum
- Para somar, primeiro escreva ambos os números com a mesma potência de dez: $3.2\times10^5+7\times10^4=(3.2+0.7)10^5=3.9\times10^5$.
- Renormalize após calcular: $(8\times10^3)(4\times10^2)=32\times10^5=3.2\times10^6$. Cálculos centrais em notação científica estão no Paper Calculadora 3.
Calculate (3.2 × 10⁵ + 7 × 10⁴) / 10⁵. · Calcule (3.2 × 10⁵ + 7 × 10⁴) / 10⁵.
Use the same power: 3.2 + 0.7 = 3.9. · Use a mesma potência: 3.2 + 0.7 = 3.9.
You've got it
- standard form $= A \times 10^n$ with $1 \leq A < 10$
- big numbers → positive $n$; small numbers $(< 1)$ → negative $n$
- multiply: fronts $\times$, powers $+$; divide: fronts $\div$, powers $-$
- $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^6$; $\;0.000\,72 = 7.2 \times 10^{-4}$
Entendeu?
- forma padrão $= A \times 10^n$ com $1 \leq A < 10$
- números grandes → positiva $n$; números pequenos $(< 1)$ → negativa $n$
- multiplicar: frentes $\times$, potências $+$; dividir: frentes $\div$, potências $-$
- $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^6$; $\;0.000\,72 = 7.2 \times 10^{-4}$