Exponentials and logarithms · Exponenciais e logaritmos
| English | Português |
|---|---|
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | função exponencial |
| exponent/ekˈspəʊnənt/ | expoente |
| natural logarithms/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəmz/ | logaritmos naturais |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | juros compostos |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | decaimento exponencial |
Repeated multiplication creates a model
- An exponential function 指数函数 such as $y=a^x$ has the variable in the exponent 指数, with $a>0$ and $a\ne1$.
- Its values grow for $a>1$ and decay for $0
Multiplicações repetidas criam um modelo
- Uma função exponencial como $y=a^x$ tem a variável no expoente, com $a>0$ e $a\ne1$.
- Seus valores crescem para $a>1$ e decaem para $0
Exponential growth against a straight line · Crescimento exponencial contra uma linha reta
$y = a^x$
A constant factor always overtakes a constant amount, however steep the line. · Um fator constante sempre supera uma quantidade constante, independentemente da inclinação da linha.
Use a logarithm as an inverse
- $\log_a y=x$ means $a^x=y$. Real logarithms need a positive argument and a positive base different from 1.
- Natural logarithms 自然对数 use base e. The graph $y=\ln x$ passes through $(1,0)$ and has vertical asymptote $x=0$; exponential graphs have y-intercept 1 and horizontal asymptote $y=0$.
Use um logaritmo como inverso
- $\log_a y=x$ significa $a^x=y$. Logaritmos reais precisam de argumento positivo e base positiva diferente de 1.
- Logaritmos naturais usam base e. O gráfico $y=\ln x$ passa por $(1,0)$ e tem assíntota vertical $x=0$; gráficos exponenciais têm ordenada na origem 1 e assíntota horizontal $y=0$.
What is log₁₀ 1000? · Qual é log₁₀ 1000?
It asks what power of 10 gives 1000, and 10³ = 1000. · Pede qual potência de 10 dá 1000, e 10³ = 1000.
Apply laws only within their domain
- For positive m and n with the same valid base, $\log(mn)=\log m+\log n$ and $\log(m/n)=\log m-\log n$.
- The power law $\log(m^k)=k\log m$ brings an exponent into a product. There is no corresponding law splitting the logarithm of a sum.
Aplicar leis apenas dentro de seu domínio
- Para m e n positivos com a mesma base válida, $\log(mn)=\log m+\log n$ e $\log(m/n)=\log m-\log n$.
- A lei das potências $\log(m^k)=k\log m$ introduz um expoente em um produto. Não há lei correspondente que decomponha o logaritmo de uma soma.
Which law lets you solve for an unknown that sits in an exponent? · Qual lei permite resolver para uma incógnita que está em um expoente?
The power law brings k down to the front, where it can be divided out. The fourth option is not a law at all. · A lei das potências traz k para a frente, onde pode ser cancelado. A quarta opção não é uma lei.
log(m + n) equals log m + log n. · log(m + n) é igual a log m + log n.
The addition law applies to a product inside the logarithm, never to a sum. · A lei da adição aplica-se a um produto dentro do logaritmo, nunca a uma soma.
State the time and financial assumptions
- Compound interest 复利 uses $A=P(1+r)^n$ for a stated rate per period and no other cash flows. The rate r is a fraction, not the percentage numeral.
- Exponential decay 指数衰减 uses a factor between 0 and 1. A continuous-time threshold can differ from the first qualifying whole-period sample; real processes need evidence before adopting a model.
Enuncie as suposições de tempo e financeiras
- Juros compostos usam $A=P(1+r)^n$ para uma taxa declarada por período e sem outros fluxos de caixa. A taxa r é uma fração, não o numeral percentual.
- Decaimento exponencial usa um fator entre 0 e 1. Um limiar de tempo contínuo pode diferir da primeira amostra inteira qualificada; processos reais precisam de evidências antes de adotar um modelo.
5000 grows at 4% a year. After how many WHOLE years does it first exceed 7000? · 5000 cresce a 4% ao ano. Após quantos ANOS INTEIROS ele excede 7000 pela primeira vez?
n > log 1.4 ÷ log 1.04 = 8.58, and years are whole, so the answer is 9. · n > log 1.4 ÷ log 1.04 = 8.58, e os anos são números inteiros, então a resposta é 9.
Which base gives exponential decay? · Qual base dá decaimento exponencial?
A base between 0 and 1 shrinks the value at every step. A base of 1 never changes it. · Uma base entre 0 e 1 encolhe o valor em cada etapa. Uma base de 1 nunca o altera.
In one English sentence, say when you would use a logarithm to solve an equation. · Em uma frase em inglês, diga quando você usaria um logaritmo para resolver uma equação.
Example: "I take logarithms when the unknown is in the exponent, because the power law brings it down." · Exemplo: "Eu tomo logaritmos quando a incógnita está no expoente, porque a lei das potências a traz para baixo."
A whole-year threshold. With $A(n)=500(1.04)^n$, the condition $A(n)>600$ gives $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$. The first whole year is 5. Check years 4 and 5 to verify the strict inequality.
Limite anual completo. Com $A(n)=500(1.04)^n$, a condição $A(n)>600$ resulta em $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$. O primeiro ano inteiro é 5. Verifique os anos 4 e 5 para confirmar a desigualdade estrita.
Check equation and sketch domains separately. In $\ln(x-1)+\ln2=\ln10$, the equation needs $x>1$ and has solution 6. The separate basic graph $y=\ln x$ is defined for $x>0$. Sheet 1.6 practises both equations and graph features.
Verifique equações e esboce domínios separadamente. Em $\ln(x-1)+\ln2=\ln10$, a equação requer $x>1$ e tem solução 6. O gráfico básico separado $y=\ln x$ está definido para $x>0$. Folha 1.6 pratica tanto equações quanto características do gráfico.
A positive exponential decay model stays above zero at every finite time. A physical quantity measured as zero may reflect detection limits or failure of the model, rather than an exact zero predicted by the formula.
Um modelo positivo de decaimento exponencial permanece acima de zero em todo tempo finito. Uma grandeza física medida como zero pode refletir limites de detecção ou falha do modelo, em vez de um zero exato previsto pela fórmula.