Mean and SD of Random Variables · Média e DP de Variáveis Aleatórias
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| expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/ | valor esperado |
| variance/ˈveərɪəns/ | variação |
The long-run average
- The mean (or expected value 期望值) of a random variable is its long-run average outcome.
- Written $\mu_X$ or $E(X)$ — the balance point of the distribution.
- It's a weighted average: each value weighted by its probability.
- Over many repetitions, the average result closes in on $\mu_X$.
A média de longo prazo
- A média (ou valor esperado 期望值) de uma variável aleatória é seu resultado médio de longo prazo.
- Escrita como $\mu_X$ ou $E(X)$ — o ponto de equilíbrio da distribuição.
- É uma média ponderada: cada valor ponderado por sua probabilidade.
- Em muitas repetições, a média dos resultados aproxima-se de $\mu_X$.
Computing the mean
-
$$\mu_X = \sum x_i \, P(x_i)$$
- Multiply each value by its probability, then add them all up.
- The mean need not be a possible value (a "family of $2.5$ kids").
- It's an average, not a prediction of any single trial.
Calculando a média
-
$$\mu_X = \sum x_i \, P(x_i)$$
- Multiplique cada valor por sua probabilidade, depois some tudo.
- A média não precisa ser um valor possível (uma "família de $2.5$ filhos").
- É uma média, não uma previsão de qualquer único ensaio.
Variance and standard deviation
- The variance 方差 $\sigma_X^2 = \sum (x_i - \mu_X)^2 \, P(x_i)$ — the probability-weighted average squared distance from the mean.
- The standard deviation $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ brings it back to the original units.
- Bigger $\sigma_X$ = outcomes are more spread out around the mean.
- Square the deviations, weight by probability, sum, then square-root.
Variância e desvio padrão
- A variância 方差 $\sigma_X^2 = \sum (x_i - \mu_X)^2 \, P(x_i)$ — a distância ao quadrado média ponderada pela probabilidade em relação à média.
- O desvio padrão $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ traz de volta às unidades originais.
- Maior $\sigma_X$ = resultados mais dispersos em torno da média.
- Eleve os desvios ao quadrado, pondere pela probabilidade, some, depois tire a raiz quadrada.
Interpreting the SD
- $\sigma_X$ is the typical distance of an outcome from the mean $\mu_X$.
- Small $\sigma_X$: results cluster tightly near the expected value.
- Large $\sigma_X$: results swing widely from trial to trial.
- Together, $\mu_X$ (center) and $\sigma_X$ (spread) summarize the whole distribution.
Interpretando o DP
- $\sigma_X$ é a distância típica de um resultado em relação à média $\mu_X$.
- Pequeno $\sigma_X$: resultados agrupam-se firmemente perto do valor esperado.
- Grande $\sigma_X$: resultados oscilam amplamente de ensaio para ensaio.
- Juntos, $\mu_X$ (centro) e $\sigma_X$ (dispersão) resumem toda a distribuição.
The expected value is a long-run average, not a guaranteed or even possible outcome. $E(X)=2.5$ children means the average over many families, not that any family has $2.5$ kids. And compute the SD from variance: square the deviations first, weight, sum, then take the square root — don't average the raw distances.
O valor esperado é uma média de longo prazo, não um resultado garantido ou mesmo possível. $E(X)=2.5$ filhos significa a média sobre muitas famílias, não que alguma família tenha $2.5$ filhos. E calcule o DP a partir da variância: eleve os desvios ao quadrado primeiro, pondere, some, depois tire a raiz quadrada — não faça a média das distâncias brutas.
A game: win $5$ dollars with probability $0.2$, else win $0$. Let $X$ be the winnings.
- Mean: $\mu_X = 5(0.2) + 0(0.8) = 1$ dollar — the long-run average payout.
- Variance: $(5-1)^2(0.2) + (0-1)^2(0.8) = 3.2 + 0.8 = 4$.
- SD: $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ dollars — typical distance from the $1$ average.
Um jogo: ganhe $5$ dólares com probabilidade $0.2$, senão ganhe $0$. Seja $X$ os ganhos.
- Média: $\mu_X = 5(0.2) + 0(0.8) = 1$ dólar — o pagamento médio de longo prazo.
- Variância: $(5-1)^2(0.2) + (0-1)^2(0.8) = 3.2 + 0.8 = 4$.
- DP: $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ dólares — distância típica em relação à média de $1$.
The mean (expected value) $\mu_X = \sum x_i P(x_i)$ is the long-run average — a probability-weighted average that needn't be a possible value. The variance $\sigma_X^2 = \sum (x_i-\mu_X)^2 P(x_i)$ and standard deviation $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ measure the typical distance of an outcome from $\mu_X$.
A média (valor esperado) $\mu_X = \sum x_i P(x_i)$ é a média de longo prazo — uma média ponderada pela probabilidade que não precisa ser um valor possível. A variância $\sigma_X^2 = \sum (x_i-\mu_X)^2 P(x_i)$ e o desvio padrão $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ medem a distância típica de um resultado em relação a $\mu_X$.
Weighting values by probability · Pesquisando valores pela probabilidade
The mean is the balance point of this weighted distribution. · A média é o ponto de equilíbrio desta distribuição ponderada.
X wins 5 with prob 0.2, else 0. Find the mean E(X) = 5(0.2)+0(0.8). · X ganha 5 com prob 0.2, senão 0. Encontre a média E(X) = 5(0.2)+0(0.8).
5(0.2) + 0(0.8) = 1.
With mean 1: variance = (5−1)²(0.2)+(0−1)²(0.8). Then find the standard deviation. · Com média 1: variância = (5−1)²(0.2)+(0−1)²(0.8). Depois encontre o desvio padrão.
Variance = 3.2 + 0.8 = 4, so SD = √4 = 2. · Variância = 3.2 + 0.8 = 4, então DP = √4 = 2.
The expected value of a random variable must be one of its possible values. · O valor esperado de uma variável aleatória deve ser um de seus valores possíveis.
It's a long-run average — e.g. 2.5 children — need not be attainable. · É uma média de longo prazo — ex. 2.5 filhos — pode não ser alcançável.
The standard deviation of a random variable measures... · O desvio padrão de uma variável aleatória mede...
SD = typical spread around the mean. · DP = dispersão típica em torno da média.
The mean of a random variable is also called its ___ value (one word). · A média de uma variável aleatória também é chamada de seu ___ valor (uma palavra).
Mean = expected value = long-run average. · Média = valor esperado = média de longo prazo.