Probabilidade, Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

Estatística do AP · Tópico 4

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4.1

Padrões Aleatórios e Não-Aleatórios

Programa

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.F: Identificar perguntas sugeridas por padrões nos dados. [Habilidade 1.A]

VAR-1.F.1 Padrões nos dados não significam necessariamente que a variação não é aleatória.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Algo é aleatório 随机 se os resultados individuais são incertos, mas um padrão regular emerge ao longo de muitas repetições. Os resultados de curto prazo parecem erráticos; as frequências relativas de longo prazo se estabilizam. Essa estabilidade de longo prazo é o que torna a probabilidade útil.

4.2

Estimando Probabilidades Usando Simulação

Programa

Compreensão Duradoura (UNC-2): A simulação nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-2.A: Estimar probabilidades usando simulação. [Habilidade 3.A]

UNC-2.A.1 Um processo aleatório gera resultados que são determinados pelo acaso.
UNC-2.A.2 Um resultado é o produto de um ensaio de um processo aleatório.
UNC-2.A.3 Um evento é um conjunto de resultados.
UNC-2.A.4 Simulação é uma maneira de modelar eventos aleatórios, de modo que resultados simulados correspondam de perto a resultados do mundo real. Todos os resultados possíveis estão associados a um valor a ser determinado pelo acaso. Registre as contagens de resultados simulados e a contagem total.
UNC-2.A.5 A frequência relativa de um resultado ou evento em dados simulados ou empíricos pode ser usada para estimar a probabilidade desse resultado ou evento.
UNC-2.A.6 A lei dos grandes números afirma que probabilidades simuladas (empíricas) tendem a se aproximar da probabilidade verdadeira à medida que o número de ensaios aumenta.
- Exemplos ilustrativos para UNC-2.A:
  - Um resultado: Lançar um valor específico em um dado de seis lados é um dos seis resultados possíveis.
  - Um evento: Ao lançar dois dados de seis faces, um evento seria a soma sete. A coleção correspondente de resultados seria $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$ e $(6, 1)$, onde os pares ordenados indicam (valor da face em um dado, valor da face no outro dado).

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma simulação 模拟 imita um processo de acaso usando dígitos aleatórios ou tecnologia. Etapas: declarar o modelo, atribuir dígitos aos resultados, executar muitos ensaios e registrar a proporção de ensaios que atendem à condição. A proporção resultante estima a probabilidade – mais ensaios dão uma estimativa melhor.

4.3

Introdução à Probabilidade

Programa

Compreensão Essencial (VAR-4): A probabilidade de um evento aleatório pode ser quantificada.

Objetivo de Aprendizagem VAR-4.A: Calcular probabilidades para eventos e seus complementos. [Habilidade 3.A]

VAR-4.A.1 O espaço amostral de um processo aleatório é o conjunto de todos os resultados não sobrepostos possíveis.
VAR-4.A.2 Se todos os resultados do espaço amostral forem igualmente prováveis, então a probabilidade de um evento E ocorrer é definida como a fração: $\dfrac{\text{number of outcomes in event E}}{\text{total number of outcomes in sample space}}$
VAR-4.A.3 A probabilidade de um evento é um número entre 0 e 1, inclusive.
VAR-4.A.4 A probabilidade do complemento de um evento E, $E'$ ou $E^{C}$ (ou seja, não E), é igual a $1 - P(E)$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-4.B: Interpretar probabilidades para eventos. [Habilidade 4.B]

VAR-4.B.1 As probabilidades de eventos em situações repetíveis podem ser interpretadas como a frequência relativa com que o evento ocorrerá a longo prazo.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

A probabilidade 概率 de um evento é um número de $0$ a $1$ que dá sua frequência relativa de longo prazo. O espaço amostral 样本空间 é o conjunto de todos os resultados. Para um evento $A$, a regra do complemento 补: $P(A^c)=1-P(A)$. As probabilidades de todos os resultados somam $1$.

Probability runs from 0 (impossible) to 1 (certain)

Os quatro ases de um baralho de cartas — Um baralho de cartas é uma fonte clássica de probabilidade: 52 resultados igualmente prováveis tornam as chances fáceis de contar

Explorar

Explore probabilidade com dados

Probabilidade é a fração de longo prazo das vezes que um resultado ocorre. Jogue os dados muitas vezes e observe as proporções experimentais convergirem para os valores teóricos.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
random/ˈrændəm/	随机	suí jī
simulation/ˌsɪmjʊˈleɪʃn/	模拟	mó nǐ
probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/	概率	gài lǜ
complement/ˈkɒmplɪmənt/	补	bǔ

4.4

Eventos Mutuamente Exclusivos

Programa

Compreensão Essencial (VAR-4): A probabilidade de um evento aleatório pode ser quantificada.

Objetivo de Aprendizagem VAR-4.C: Explicar por que dois eventos são (ou não são) mutuamente exclusivos. [Habilidade 4.B]

VAR-4.C.1 A probabilidade de que os eventos $A$ e $B$ ambos ocorrerem, às vezes chamada de probabilidade conjunta, é a probabilidade da interseção de $A$ e $B$, denotada $P(A \cap B)$.
VAR-4.C.2 Dois eventos são mutuamente exclusivos ou disjuntos se não puderem ocorrer ao mesmo tempo. Portanto, $P(A \cap B) = 0$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Dois eventos são mutuamente exclusivos 互斥 (disjuntos) se não podem acontecer ambos. Então a regra da adição simplifica-se:

$$P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)\quad(\text{if mutually exclusive}).$$

Em geral, $P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ and }B)$ – subtraia a interseção para que não seja contada duas vezes.

Um diagrama de Venn: a sobreposição é a interseção de dois eventos

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/	互斥	hù chì

4.5

Probabilidade Condicional

Programa

Compreensão Essencial (VAR-4): A probabilidade de um evento aleatório pode ser quantificada.

Objetivo de Aprendizagem VAR-4.D: Calcular probabilidades condicionais. [Habilidade 3.A]

VAR-4.D.1 A probabilidade de que o evento $A$ ocorrer dado que o evento $B$ ocorreu é chamada de probabilidade condicional e denotada $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
VAR-4.D.2 A regra da multiplicação afirma que a probabilidade de que os eventos $A$ e $B$ ocorram ambos é igual à probabilidade de que o evento $A$ ocorra multiplicada pela probabilidade de que o evento $B$ ocorra, dado que $A$ ocorreu. Isso é denotado $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Probabilidade condicional

A conditional probability 条件概率 of $A$ given $B$ is

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\text{ and }B)}{P(B)}.$$

É a chance de $A$ uma vez que você saiba que $B$ aconteceu. Tabelas de dupla entrada facilitam isso: restrinja-se à linha/coluna para $B$, então encontre a participação de $A$.

Em um diagrama de árvore, multiplique as probabilidades ao longo dos ramos

Explorar

Atualizar uma probabilidade com novas informações

Probabilidade condicional $P(B\mid A)$ é a chance de $B$ depois que você sabe que $A$ ocorreu. Altere as probabilidades dos ramos e observe como a condicionamento remodela o resultado.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/	条件概率	tiáo jiàn gài lǜ

4.6

Eventos Independentes e Uniões de Eventos

Programa

Compreensão Essencial (VAR-4): A probabilidade de um evento aleatório pode ser quantificada.

Objetivo de Aprendizagem VAR-4.E: Calcular probabilidades para eventos independentes e para a união de dois eventos. [Habilidade 3.A]

VAR-4.E.1 Os eventos $A$ e $B$ são independentes se, e somente se, saber se o evento $A$ ocorreu (ou ocorrerá) não altera a probabilidade de que o evento $B$ ocorrerá.
VAR-4.E.2 Se, e somente se, os eventos $A$ e $B$ forem independentes, então $P(A \mid B) = P(A)$, $P(B \mid A) = P(B)$ e $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
VAR-4.E.3 A probabilidade de que o evento $A$ ou o evento $B$ (ou ambos) ocorrerem é a probabilidade da união de $A$ e $B$, denotada $P(A \cup B)$.
VAR-4.E.4 A regra da adição afirma que a probabilidade de que o evento $A$ ou o evento $B$ ou ambos ocorrerão é igual à probabilidade de que o evento $A$ ocorrer mais a probabilidade de que o evento $B$ ocorrer menos a probabilidade de que ambos os eventos $A$ e $B$ ocorram. Isso é denotado $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Os eventos são independentes 独立 se saber um não altera a probabilidade do outro: $P(A\mid B)=P(A)$. Então a regra de multiplicação simplifica:

$$P(A\text{ and }B)=P(A)\,P(B)\quad(\text{if independent}).$$

Independente não é o mesmo que mutuamente exclusivo – eventos mutuamente exclusivos com probabilidade não nula são na verdade dependentes (se um acontece, o outro não pode).

Um diagrama de espaço amostral lista todos os resultados igualmente prováveis

Explorar

Combinar eventos com um diagrama de Venn

Para uma união $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ — subtraia a interseção para que não seja contada duas vezes. Alterne a operação para ver cada região acender.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
sample space/ˈsæmpl speɪs/	样本空间	yàng běn kōng jiān
independent/ˌɪndɪˈpendənt/	独立	dú lì
random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/	随机变量	suí jī biàn liàng
probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	概率分布	gài lǜ fēn bù

4.7

Random Variables and Probability Distributions

Programa

Compreensão Essencial (VAR-5): As distribuições de probabilidade podem ser usadas para modelar variações em populações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-5.A: Representar a distribuição de probabilidade para uma variável aleatória discreta. [Habilidade 2.B]

VAR-5.A.1 Os valores de uma variável aleatória são os resultados numéricos do comportamento aleatório.
VAR-5.A.2 Uma variável aleatória discreta é uma variável que pode assumir apenas um número contável de valores. Cada valor tem uma probabilidade associada a ele. A soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis deve ser 1.
VAR-5.A.3 Uma distribuição de probabilidade pode ser representada como um gráfico, tabela ou função mostrando as probabilidades associadas aos valores de uma variável aleatória.
VAR-5.A.4 Uma distribuição de probabilidade acumulativa pode ser representada como uma tabela ou função mostrando a probabilidade de ser menor ou igual a cada valor da variável aleatória.
- Exemplos ilustrativos para VAR-5.A: Resultados de ensaios de um processo aleatório:
  - A soma dos resultados ao lançar dois dados
  - O número de filhotes em uma ninhada selecionada aleatoriamente de uma certa raça de cachorro

Objetivo de Aprendizagem VAR-5.B: Interpretar uma distribuição de probabilidade. [Habilidade 4.B]

VAR-5.B.1 Uma interpretação de uma distribuição de probabilidade fornece informações sobre a forma, o centro e a dispersão de uma população e permite tirar conclusões sobre a população de interesse.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma variável aleatória 随机variable atribui um número a cada resultado de um processo de chance. Uma distribuição de probabilidade 概率分布 lista cada valor possível com sua probabilidade (eles somam $1$). Uma distribuição pode ser discreta (uma tabela de valores) ou contínua (um modelo de área sob uma curva, como o normal).

4.8

Média e Desvio Padrão de Variáveis Aleatórias

Programa

Compreensão Essencial (VAR-5): As distribuições de probabilidade podem ser usadas para modelar variações em populações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-5.C: Calcular parâmetros para uma variável aleatória discreta. [Habilidade 3.B]

VAR-5.C.1 Um valor numérico que mede uma característica de uma população ou da distribuição de uma variável aleatória é conhecido como parâmetro, que é um valor único e fixo.
VAR-5.C.2 A média, ou valor esperado, para uma variável aleatória discreta $X$ é $\mu_X = \sum x_i \cdot P(x_i)$.
VAR-5.C.3 O desvio padrão para uma variável aleatória discreta $X$ é $\sigma_X = \sqrt{\sum (x_i - \mu_x)^2 \cdot P(x_i)}$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-5.D: Interpretar parâmetros para uma variável aleatória discreta. [Habilidade 4.B]

VAR-5.D.1 Parâmetros para uma variável aleatória discreta devem ser interpretados usando unidades apropriadas e dentro do contexto de uma população específica.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

A média (valor esperado) 期望值 de uma variável aleatória discreta é a média ponderada pela probabilidade:

$$\mu_X=E(X)=\sum x_i\,P(x_i).$$

O desvio padrão $\sigma_X=\sqrt{\sum (x_i-\mu_X)^2\,P(x_i)}$ mede a dispersão típica em relação à média. O valor esperado é a média de longo prazo dos resultados, não um valor que você espera em qualquer único teste.

Exemplo resolvido. Um jogo paga $\$5$ with probability $0.2$ and costs you $\$1$ (um resultado $-1$) com probabilidade $0.8$. O valor esperado é

$$E(X)=5(0.2)+(-1)(0.8)=1-0.8=\$0.20,$$

então, em muitas jogadas, você ganha cerca de $20$ centavos por jogada em média, embora nenhuma jogada única forneça exatamente isso.

4.9

Combinando Variáveis Aleatórias

Programa

Compreensão Essencial (VAR-5): As distribuições de probabilidade podem ser usadas para modelar variações em populações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-5.E: Calcular parâmetros para combinações lineares de variáveis aleatórias. [Habilidade 3.B]

VAR-5.E.1 Para variáveis aleatórias $X$ e $Y$ e números reais $a$ e $b$, a média de $aX + bY$ é $a\mu_x + b\mu_y$.
VAR-5.E.2 Duas variáveis aleatórias são independentes se saber informações sobre uma delas não alterar a distribuição de probabilidade da outra.
VAR-5.E.3 Para variáveis aleatórias independentes $X$ e $Y$ e números reais $a$ e $b$, a média de $aX + bY$ é $a\mu_x + b\mu_y$, e a variância de $aX + bY$ é $a^2\sigma^2_x + b^2\sigma^2_y$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-5.F: Descrever os efeitos de transformações lineares de parâmetros de variáveis aleatórias. [Habilidade 3.C]

VAR-5.F.1 Para $Y = a + bX$, a distribuição de probabilidade da variável aleatória transformada, $Y$, tem a mesma forma que a distribuição de probabilidade para $X$, desde que $a > 0$ e $b > 0$. A média de $Y$ é $\mu_y = a + b\mu_x$. O desvio padrão de $Y$ é $\sigma_y = |b|\sigma_x$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Quando você adiciona ou subtrai variáveis aleatórias, as médias se somam: $\mu_{X\pm Y}=\mu_X\pm\mu_Y$. Se $X$ e $Y$ são independentes, as variâncias se somam (mesmo ao subtrair):

$$\sigma^2_{X\pm Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y.$$

Tire a raiz quadrada para obter o desvio padrão. Além disso, escala: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ e $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$.

4.10

Introdução à Distribuição Binomial

Programa

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.A: Estimar probabilidades de variáveis aleatórias binomiais usando dados de uma simulação. [Habilidade 3.A]

UNC-3.A.1 Uma distribuição de probabilidade pode ser construída usando as regras de probabilidade ou estimada com uma simulação usando geradores de números aleatórios.
UNC-3.A.2 Uma variável aleatória binomial, $X$, conta o número de sucessos em $n$ ensaios independentes repetidos, cada ensaio tendo dois resultados possíveis (sucesso ou falha), com a probabilidade de sucesso $p$ e a probabilidade de falha $1 - p$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.B: Calcular probabilidades para uma distribuição binomial. [Habilidade 3.A]

UNC-3.B.1 A probabilidade de que uma variável aleatória binomial, $X$, tenha exatamente $x$ sucessos para $n$ ensaios independentes, quando a probabilidade de sucesso é $p$, é calculada como $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, \ldots, n$. Esta é a função de probabilidade binomial.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

A distribuição binomial

Um cenário binomial 二项 (BINS): um número fixo $n$ de tentativas Independentes, cada uma com dois resultados (sucesso/falha) e a mesma probabilidade de sucesso $p$. A variável aleatória $X=$ número de sucessos. Sua probabilidade:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$$

The binomial distribution, with mean n times p

Explorar

Modelar uma distribuição binomial

Uma distribuição binomial conta sucessos em $n$ ensaios independentes, cada um com probabilidade $p$. Altere $n$ e $p$ e observe as barras se deslocarem e espalharem.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
mean (expected value)/miːn/	期望值	qī wàng zhí
binomial/baɪˈnəʊmɪəl/	二项	èr xiàng
geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/	几何	jǐ hé

4.11

Parâmetros para uma Distribuição Binomial

Programa

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.C: Calcular parâmetros para uma distribuição binomial. [Habilidade 3.B]

UNC-3.C.1 Se uma variável aleatória for binomial, sua média, $\mu_x$, é $np$ e seu desvio padrão, $\sigma_x$, é $\sqrt{np(1 - p)}$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.D: Interpretar probabilidades e parâmetros para uma distribuição binomial. [Habilidade 4.B]

UNC-3.D.1 Probabilidades e parâmetros para uma distribuição binomial devem ser interpretados usando unidades adequadas e dentro do contexto de uma população ou situação específica.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

For a binomial $X$ with $n$ trials and success probability $p$:

$$\mu_X=np,\qquad \sigma_X=\sqrt{np(1-p)}.$$

Use isso para perguntas de "quantos sucessos esperamos, e quanto eles variam".

Exemplo resolvido. Um jogador acerta $70\%$ dos arremessos livres. Em $n=10$ arremessos, a probabilidade de exatamente $8$ acertos é

$$P(X=8)=\binom{10}{8}(0.7)^8(0.3)^2=45\times0.0576\times0.09\approx0.23,$$

e o número esperado de acertos é $\mu=np=10(0.7)=7$, com $\sigma=\sqrt{10(0.7)(0.3)}\approx1.45$.

4.12

A Distribuição Geométrica

Programa

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.E: Calcular probabilidades para variáveis aleatórias geométricas. [Habilidade 3.A]

UNC-3.E.1 Para uma sequência de ensaios independentes, uma variável aleatória geométrica, $X$, dá o número do ensaio no qual o primeiro sucesso ocorre. Cada ensaio tem dois resultados possíveis (sucesso ou falha) com a probabilidade de sucesso $p$ e a probabilidade de falha $1 - p$.
UNC-3.E.2 A probabilidade de que o primeiro sucesso para ensaios independentes repetidos com probabilidade de sucesso $p$ ocorra no ensaio $x$ é calculada como $P(X = x) = (1 - p)^{x-1} p, x = 1, 2, 3, \ldots$. Esta é a função de probabilidade geométrica.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.F: Calcular parâmetros de uma distribuição geométrica. [Habilidade 3.B]

UNC-3.F.1 Se uma variável aleatória for geométrica, sua média, $\mu_x$, é $\dfrac{1}{p}$ e seu desvio padrão, $\sigma_x$, é $\dfrac{\sqrt{(1 - p)}}{p}$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.G: Interpretar probabilidades e parâmetros para uma distribuição geométrica. [Habilidade 4.B]

UNC-3.G.1 Probabilidades e parâmetros para uma distribuição geométrica devem ser interpretados usando unidades adequadas e dentro do contexto de uma população ou situação específica.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Um cenário geométrico 几何 é o mesmo que o binomial, mas com nenhum $n$ fixo: você continua tentando até o primeiro sucesso. A variável aleatória $Y=$ o teste do primeiro sucesso:

$$P(Y=k)=(1-p)^{k-1}\,p,\qquad \mu_Y=\frac{1}{p}.$$

Então o número esperado de tentativas até o primeiro sucesso é $1/p$.

4.12

Dicas de prova

Uma probabilidade está em $[0,1]$; use o complemento ($1-P$) e some eventos mutuamente exclusivos.
Para eventos independentes multiplique; para "e/ou" use a regra geral de adição e as regras condicionais.
Expected value = $\sum(\text{value}\times\text{probability})$.
Reconheça cenários binomiais (fixo $n$, dois resultados, constante $p$) e geométricos.
Desenhe uma árvore ou tabela para problemas multietapa e multiplique ao longo dos ramos.

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