Inferência para Dados Quantitativos: Pendentes

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.K: Identificar questões sugeridas pela variação em gráficos de dispersão. [Habilidade 1.A]

• VAR-1.K.1 A variação nas posições dos pontos em relação a uma linha teórica pode ser aleatória ou não aleatória.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AC: Identificar um procedimento de intervalo de confiança adequado para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 1.D]

• UNC-4.AC.1 Considere uma variável de resposta, $y$, que está linearmente relacionada a uma variável explicativa, $x$. Para uma amostra aleatória simples de $n$ observações, a reta de regressão amostral, $\hat{y} = a + bx$, é uma estimativa da reta de regressão populacional $\mu_y = \alpha + \beta x$. Para uma observação particular, $(x_i, y_i)$, o resíduo da reta de regressão amostral, $y_i - \hat{y}_i = y_i - (a + bx_i)$, é uma estimativa de $y_i - (\alpha + \beta x_i)$, o desvio da variável de resposta da reta de regressão populacional. Para todos os pontos $(x, y)$ na população, o desvio padrão de todos os desvios da variável de resposta da reta de regressão populacional, $\sigma$, pode ser estimado pelo desvio padrão dos resíduos da reta de regressão amostral, $s = \sqrt{\dfrac{\sum\left(y_i - \hat{y}_i\right)^2}{n-2}}$. (Nota: Esta fórmula usa $n-2$ no denominador em vez de $n-1$ porque dois parâmetros, $\alpha$ e $\beta$, devem ser estimados para obter os valores previstos da reta de regressão de mínimos quadrados.)
• UNC-4.AC.2 Para uma amostra aleatória simples de $n$ observações, seja $b$ representando a inclinação de uma reta de regressão amostral. Então a média da distribuição de amostragem para $b$ é igual à inclinação populacional: $\mu_b = \beta$. O desvio padrão da distribuição de amostragem para $b$ é $\sigma_b = \dfrac{\sigma}{\sigma_x \sqrt{n}}$, onde $\sigma_x = \sqrt{\dfrac{\sum\left(x_i - \bar{x}\right)^2}{n}}$.
• UNC-4.AC.3 O intervalo de confiança apropriado para a inclinação de um modelo de regressão é um intervalo de confiança $t$ para a inclinação.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AD: Verificar as condições para calcular intervalos de confiança para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 4.C]

• UNC-4.AD.1 Para calcular um intervalo de confiança para estimar a inclinação de uma reta de regressão, devemos verificar o seguinte:
  • a. A verdadeira relação entre $x$ e $y$ é linear. A análise de resíduos pode ser usada para verificar a linearidade.
  • b. O desvio padrão para $y$, $\sigma_y$, não varia com $x$. A análise de resíduos pode ser usada para verificar desvios padrão aproximadamente iguais para todas as $x$.
  • c. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando uma amostra aleatória ou um experimento randomizado.
    • ii. Ao amostrar sem reposição, verifique que $n \le 10\% N$.
  • d. Para um valor particular de $x$, as respostas (valores de $y$) são aproximadamente normalmente distribuídas. A análise de representações gráficas de resíduos pode ser usada para verificar a normalidade.
    • i. Se a distribuição observada for assimétrica, $n$ deve ser maior que 30.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AE: Determinar a margem de erro dada para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.AE.1 Para a inclinação de uma reta de regressão, a margem de erro é o valor crítico $\left(t^*\right)$ vezes o erro padrão ($SE$) da inclinação.
• UNC-4.AE.2 O erro padrão para a inclinação de uma reta de regressão com desvio padrão amostral, $s$, é $SE = \dfrac{s}{s_x \sqrt{n-1}}$, onde $s$ é a estimativa de $\sigma$ e $s_x$ é o desvio padrão amostral dos valores de $x$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AF: Calcular um intervalo de confiança adequado para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.AF.1 A estimativa pontual para a inclinação de um modelo de regressão é a inclinação da reta de melhor ajuste, $b$.
• UNC-4.AF.2 Para a inclinação de um modelo de regressão, a estimativa de intervalo é $b \pm t^* \left(SE_b\right)$.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AG: Interpretar um intervalo de confiança para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 4.B]

• UNC-4.AG.1 Em amostragens aleatórias repetidas com o mesmo tamanho de amostra, aproximadamente C% dos intervalos de confiança criados capturarão a inclinação do modelo de regressão, ou seja, a verdadeira inclinação da reta de regressão populacional.
• UNC-4.AG.2 Uma interpretação para um intervalo de confiança para a inclinação de uma reta de regressão deve incluir uma referência à amostra retirada e detalhes sobre a população que ela representa.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AH: Justificar uma afirmação com base em um intervalo de confiança para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 4.D]

• UNC-4.AH.1 Um intervalo de confiança para a inclinação de um modelo de regressão fornece um intervalo de valores que pode fornecer evidências suficientes para apoiar uma afirmação particular no contexto.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AI: Identificar os efeitos do tamanho da amostra na largura de um intervalo de confiança para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 4.A]

• UNC-4.AI.1 Quando todas as outras coisas permanecem as mesmas, a largura do intervalo de confiança para a inclinação de um modelo de regressão tende a diminuir à medida que o tamanho da amostra aumenta.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.J: Identificar a seleção adequada de um método de teste para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 1.E]

• VAR-7.J.1 O teste apropriado para a inclinação de um modelo de regressão é um teste t $t$ para uma inclinação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.K: Identificar hipóteses nula e alternativa adequadas para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 1.F]

• VAR-7.K.1 A hipótese nula para um teste t $t$ para uma inclinação é: $H_0 : \beta = \beta_0$, onde $\beta_0$ é o valor hipotetizado da hipótese nula. A hipótese alternativa é $H_0 : \beta < \beta_0$ ou $H_0 : \beta > \beta_0$, ou $H_0 : \beta \neq \beta_0$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.L: Verificar as condições para o teste de significância para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 4.C]

• VAR-7.L.1 Para fazer inferências estatísticas ao testar a inclinação de um modelo de regressão, devemos verificar o seguinte:
  • a. A verdadeira relação entre $x$ e $y$ é linear. A análise de resíduos pode ser usada para verificar a linearidade.
  • b. O desvio padrão para $y$, $\sigma_y$, não varia com $x$. A análise de resíduos pode ser usada para verificar desvios padrão aproximadamente iguais para todas as $x$.
  • c. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando uma amostra aleatória ou um experimento randomizado.
    • ii. Ao amostrar sem reposição, verifique que $n \le 10\% N$.
  • d. Para um valor particular de $x$, as respostas (valores de $y$) são aproximadamente normalmente distribuídas. A análise de representações gráficas de resíduos pode ser usada para verificar a normalidade.
    • i. Se a distribuição observada for assimétrica, $n$ deve ser maior que 30.
    • ii. Se o tamanho da amostra for menor que 30, a distribuição dos dados da amostra deve estar livre de assimetria forte e outliers.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.M: Calcular uma estatística de teste apropriada para a pendente de um modelo de regressão. [Habilidade 3.E]

• VAR-7.M.1 A distribuição da pendente de um modelo de regressão assumindo que todas as condições estão satisfeitas e a hipótese nula é verdadeira (distribuição nula) é uma distribuição $t$.
• VAR-7.M.2 Para regressão linear simples quando há amostragem aleatória de uma população para a variável resposta que pode ser modelada com uma distribuição normal para cada valor da variável explicativa, a distribuição amostral de $t = \dfrac{b - \beta}{SE_b}$ tem uma distribuição $t$ com graus de liberdade iguais a $n - 2$. Ao testar a pendente em um modelo de regressão linear simples com um parâmetro, a pendente, o teste para a pendente tem $df = n - 1$.

Compreensão Duradoura (DAT-3): Os testes de significância nos permitem tomar decisões sobre hipóteses dentro de um contexto particular.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.M: Interpretar o valor $p$ de um teste de significância para a pendente de um modelo de regressão. [Habilidade 4.B]

• DAT-3.M.1 Uma interpretação do valor $p$ de um teste de significância para a pendente de um modelo de regressão deve reconhecer que o valor $p$ é calculado assumindo que a hipótese nula é verdadeira, ou seja, assumindo que a verdadeira pendente populacional é igual ao valor particular declarado na hipótese nula.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.N: Justificar uma afirmação sobre a população com base nos resultados de um teste de significância para a pendente de um modelo de regressão. [Habilidade 4.E]

• DAT-3.N.1 Uma decisão formal compara explicitamente o valor $p$ à significância $\alpha$. Se o valor $p$ for $\le \alpha$, então rejeite a hipótese nula, $H_0 : \beta = \beta_0$. Se o valor $p$ for $> \alpha$, então não rejeite a hipótese nula.
• DAT-3.N.2 Os resultados de um teste de significância para a pendente de um modelo de regressão podem servir como raciocínio estatístico para apoiar a resposta a uma questão de pesquisa sobre essa amostra.

Este tópico destina-se a focar na habilidade de selecionar um procedimento de inferência adequado agora que os alunos têm uma gama de opções. Os alunos devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados à inferência.