Combining Random Variables · Combinando Variáveis Aleatórias
| English | Português |
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| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformação linear |
Scaling and shifting
- A linear transformation 线性变换 $aX + b$ scales by $a$ and shifts by $b$.
- Mean: $\mu_{aX+b} = a\,\mu_X + b$ — both scale and shift carry through.
- SD: $\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X$ — scaling stretches spread; shifting doesn't.
- Adding a constant moves the center but leaves the spread untouched.
Escalonamento e translação
- Uma transformação linear 线性变换 $aX + b$ escala por $a$ e translada por $b$.
- Média: $\mu_{aX+b} = a\,\mu_X + b$ — tanto a escala quanto a translação se aplicam.
- DP: $\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X$ — a escala estica a dispersão; a translação não faz.
- Adicionar uma constante move o centro, mas deixa a dispersão intacta.
Means of sums and differences
- Means always add (or subtract), no conditions needed:
-
$$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y \qquad \mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y$$
- Expected values combine linearly, whether or not the variables are independent.
- This is the easy, always-true half of the rules.
Médias de somas e diferenças
- As médias sempre se somam (ou subtraem), sem condições necessárias:
-
$$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y \qquad \mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y$$
- Os valores esperados combinam-se linearmente, seja ou não as variáveis sejam independentes.
- Esta é a metade fácil e sempre verdadeira das regras.
SD of sums and differences
- Variances add for independent variables — even for a difference:
-
$$\sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$
- Then $\sigma_{X\pm Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$.
- Note the $+$: you add variances even when subtracting the variables.
DP de somas e diferenças
- As variâncias se somam para variáveis independentes — mesmo para uma diferença:
-
$$\sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$
- Então $\sigma_{X\pm Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$.
- Note o $+$: você soma as variâncias mesmo ao subtrair as variáveis.
Combining independent normals
- A sum or difference of independent normal random variables is also normal.
- Its mean and SD come from the rules above ($\mu$'s add/subtract; variances add).
- So you can find probabilities for the combined variable with the normal model.
- This makes many two-variable questions solvable in one clean step.
Combinando normais independentes
- Uma soma ou diferença de variáveis aleatórias normais independentes também é normal.
- Sua média e DP vêm das regras acima ($\mu$'s somam/subtraem; variâncias se somam).
- Então você pode encontrar probabilidades para a variável combinada com o modelo normal.
- Isso torna muitas perguntas de duas variáveis solúveis em uma etapa limpa.
Two traps. (1) When you subtract variables, you still add their variances ($\sigma_{X-Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — never subtract variances. (2) Never add standard deviations directly ($\sigma_X+\sigma_Y$ is wrong); add the variances, then square-root. Both rules require the variables to be independent.
Dois armadilhas. (1) Quando você subtrai variáveis, ainda soma suas variâncias ($\sigma_{X-Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — nunca subtraia variâncias. (2) Nunca some desvios padrão diretamente ($\sigma_X+\sigma_Y$ está errado); some as variâncias, depois tire a raiz quadrada. Ambas as regras exigem que as variáveis sejam independentes.
$X$ (mean $10$, SD $3$) and $Y$ (mean $4$, SD $4$) are independent.
- Mean of $X-Y$: $10 - 4 = 6$.
- Variance: $\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 16 = 25$ (add, even for a difference).
- SD of $X-Y$: $\sqrt{25} = 5$.
$X$ (média $10$, DP $3$) e $Y$ (média $4$, DP $4$) são independentes.
- Média de $X-Y$: $10 - 4 = 6$.
- Variância: $\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 16 = 25$ (some, mesmo para uma diferença).
- DP de $X-Y$: $\sqrt{25} = 5$.
A linear transformation: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ but $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$ (shifts don't affect spread). Means add/subtract always; for independent variables variances add ($\sigma_{X\pm Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — even for a difference. A combination of independent normals is normal.
Uma transformação linear: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ mas $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$ (translações não afetam a dispersão). Médias somam/subtraem sempre; para variáveis independentes, variâncias se somam ($\sigma_{X\pm Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — mesmo para uma diferença. Uma combinação de normais independentes é normal.
A combined normal variable · Uma variável normal combinada
A sum/difference of independent normals is itself normal. · Uma soma/diferença de normais independentes é ela própria normal.
X has mean 10, Y has mean 4. Find the mean of X − Y. · X tem média 10, Y tem média 4. Encontre a média de X − Y.
Means subtract: 10 − 4 = 6. · Médias subtraem: 10 − 4 = 6.
X has SD 3, Y has SD 4, independent. Find the SD of X − Y. · X tem DP 3, Y tem DP 4, independentes. Encontre o DP de X − Y.
Variances add: 9 + 16 = 25, so SD = √25 = 5. · Variâncias somam: 9 + 16 = 25, então DP = √25 = 5.
When subtracting two independent random variables, you subtract their variances. · Ao subtrair duas variáveis aleatórias independentes, você subtrai suas variâncias.
Variances ADD even for a difference — never subtract them. · Variâncias SOMAM mesmo para uma diferença — nunca as subtraia.
For the transformation 2X + 5, the standard deviation becomes... · Para a transformação 2X + 5, o desvio padrão torna-se...
SD scales by |a| but the shift +5 doesn't affect spread. · DP escala por |a| mas o deslocamento +5 não afeta a dispersão.
To combine standard deviations of independent variables, you should add the SDs directly. · Para combinar desvios padrão de variáveis independentes, você deve somar os DPs diretamente.
Add the variances, then square-root — not the SDs. · Some as variâncias, depois tire raiz quadrada — não os DPs.