The Inverse and Determinant of a Matrix · A Inversa e o Determinante de uma Matriz
| English | Português |
|---|---|
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | matriz inversa |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | determinante |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | matriz identidade |
| not invertible/nɒt ɪnˈvɜːtɪbl/ | não invertível |
Undoing a matrix
- Multiplying by a matrix transforms space — but can you undo it?
- For ordinary numbers, dividing by $5$ undoes multiplying by $5$.
- Matrices have their own "reverse" — the inverse matrix.
- First we need one number that decides whether a reverse even exists: the determinant.
Desfazendo uma matriz
- Multiplicar por uma matriz transforma o espaço — mas você pode desfazer isso?
- Para números comuns, dividir por $5$ desfaz multiplicar por $5$.
- Matrizes têm seu próprio "reverso" — a matriz inversa.
- Primeiro precisamos de um número que decide se um reverso sequer existe: o determinante.
The determinant
- The determinant 行列式 of $\begin{bmatrix}a&b;\\c&d;\end{bmatrix}$ is the single number $ad - bc$.
- Geometrically, its size is the area of the parallelogram the columns span.
- A large determinant means the matrix stretches area a lot; a small one, very little.
- A determinant of zero means the columns line up — the parallelogram is flat.
O determinante
- O determinante 行列式 de $\begin{bmatrix}a&b;\\c&d;\end{bmatrix}$ é o número único $ad - bc$.
- Geometricamente, seu tamanho é a área do paralelogramo que as colunas abrangem.
- Um determinante grande significa que a matriz estica muito a área; um pequeno, pouco.
- Um determinante de zero significa que as colunas estão alinhadas — o paralelogramo está achatado.
For · A favor $\begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$, the determinant is $3\cdot2 - 1\cdot1$. What is it? · Para $\begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$, o determinante é $3\cdot2 - 1\cdot1$. Qual é ele?
The · A determinant of $\begin{bmatrix}a&b;\\c&d;\end{bmatrix}$ is $ad - bc = 3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$. · O determinante de $\begin{bmatrix}a&b;\\c&d;\end{bmatrix}$ é $ad - bc = 3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$.
Geometrically, the size of a 2 × 2 determinant tells you… · Geometricamente, o tamanho de um determinante 2 × 2 diz você…
The absolute value of the determinant is the area · área scaled by the matrix — zero area means the columns are parallel. · O valor absoluto do determinante é a área escalada pela matriz — área zero significa que as colunas são paralelas.
The inverse
- The inverse matrix 逆矩阵 $A^{-1}$ is the matrix that undoes $A$.
- Multiplying them gives the identity matrix 单位矩阵 $I$ — the matrix version of $1$: $A A^{-1} = I$.
- For a $2\times2$ matrix, $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a;\end{bmatrix}$.
- Notice the determinant $ad - bc$ sitting in the denominator.
A inversa
- A matriz inversa 逆矩阵 $A^{-1}$ é a matriz que desfaz $A$.
- Multiplicá-las resulta na matriz identidade 单位矩阵 $I$ — a versão matricial de $1$: $A A^{-1} = I$.
- Para uma matriz $2\times2$, $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a;\end{bmatrix}$.
- Note o determinante $ad - bc$ sentado no denominador.
Multiplying a matrix by its inverse · inverso gives the identity matrix. · Multiplicar uma matriz por sua inversa dá a matriz identidade.
By definition $A A^{-1} = I$, the identity matrix — the matrix version of the number $1$. · Por definição $A A^{-1} = I$, a matriz identidade — a versão matricial do número $1$.
When an inverse exists
- You cannot divide by $ad - bc$ if it is zero — so a zero determinant means no inverse.
- Such a matrix is not invertible 不可逆的: it squashes the plane onto a line and loses information.
- A non-zero determinant guarantees a unique inverse.
- So the determinant is the quick test: non-zero $\Rightarrow$ invertible.
Quando uma inversa existe
- Você não pode dividir por $ad - bc$ se for zero — então um determinante zero significa sem inversa.
- Tal matriz é não invertível 不可逆的: ela esmaga o plano sobre uma linha e perde informações.
- Um determinante não-zero garante uma inversa única.
- Então o determinante é o teste rápido: não-zero $\Rightarrow$ invertível.
The determinant is an area factor · O determinante é um fator de área
The determinant tells you how much a matrix scales area; here it scales area by four. · O determinante diz quanto uma matriz escala a área; aqui ela escala a área em quatro.
A 2 × 2 matrix has an inverse exactly when its determinant is… · Uma matriz 2 × 2 tem inversa exatamente quando seu determinante é…
If $\det = 0$ the columns are parallel and no inverse exists — the matrix is not invertible. · Se $\det = 0$ as colunas são paralelas e não existe inversa — a matriz é não invertível.
Select all · todos true statements. · Selecione todas as afirmações verdadeiras.
Only matrices with a non-zero determinant are invertible, so not every matrix has an inverse. · Apenas matrizes com determinante diferente de zero são invertíveis, então nem toda matriz tem inversa.
Why it matters
- An inverse solves a matrix equation $A\vec{x} = \vec{b}$ in one step: $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$.
- That is exactly how a system of linear equations is solved with matrices.
- The determinant also tells you when a system has no unique solution (det $= 0$).
- These ideas power computer graphics, cryptography, and data science.
Por isso importa
- Uma inversa resolve uma equação matricial $A\vec{x} = \vec{b}$ em um passo: $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$.
- É exatamente assim que um sistema de equações lineares é resolvido com matrizes.
- O determinante também diz quando um sistema tem nenhuma solução única (det $= 0$).
- Essas ideias alimentam gráficos por computador, criptografia e ciência de dados.
A matrix has an inverse only when its determinant is non-zero. If $ad - bc = 0$, the formula divides by zero — there is no inverse, and a system $A\vec{x} = \vec{b}$ has either no solution or infinitely many. Always check the determinant first.
Uma matriz tem inversa apenas quando seu determinante é não-zero. Se $ad - bc = 0$, a fórmula divide por zero — não há inversa, e um sistema $A\vec{x} = \vec{b}$ tem nenhuma solução ou infinitas. Sempre verifique o determinante primeiro.
Invert $A = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$.
- Determinant: $3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$ (non-zero, so an inverse exists).
- Swap the diagonal, negate the off-diagonal, divide by $5$:
$$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 3\end{bmatrix}.$$
- Check: $A A^{-1} = I$. ✓
Inverta $A = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$.
- Determinante: $3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$ (não-zero, então uma inversa existe).
- Troque a diagonal, negue a fora da diagonal, divida por $5$:
$$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 3\end{bmatrix}.$$
- Verifique: $A A^{-1} = I$. ✓
The determinant $ad - bc$ is one number measuring the area a matrix scales. The inverse $A^{-1}$ undoes the matrix, with $A A^{-1} = I$ (the identity matrix). An inverse exists only when the determinant is non-zero; a zero determinant means the matrix is not invertible.
O determinante $ad - bc$ é um número medindo a área que a matriz escala. A inversa $A^{-1}$ desfaz a matriz, com $A A^{-1} = I$ (a matriz identidade). Uma inversa existe apenas quando o determinante é não-zero; um determinante zero significa que a matriz é não invertível.