Linear Transformations and Matrices · Transformações Lineares e Matrizes
| English | Português |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformação linear |
| unit square/ˈjuːnɪt skweə/ | quadrado unitário |
| shear/ʃɪə/ | cisalhamento |
A matrix moves points
- A matrix does more than store numbers — it can move every point of the plane.
- Feed it a vector, and it hands back a new, transformed vector.
- Squares can become slanted; grids can stretch or rotate.
- This turns a matrix into a machine for reshaping space.
Uma matriz move pontos
- Uma matriz faz mais do que armazenar números — ela pode mover cada ponto do plano.
- Dê a ela um vetor, e ela devolve um novo vetor transformado.
- Quadrados podem virar losangos; grades podem esticar ou girar.
- Isso transforma uma matriz em uma máquina para remodelar o espaço.
What a linear transformation is
- A linear transformation 线性变换 is a function that maps every vector to a new vector.
- It keeps the origin fixed and keeps grid lines straight and evenly spaced.
- No curving, no tearing — parallel lines stay parallel.
- Every linear transformation of the plane can be written as multiplication by a matrix.
O que é uma transformação linear
- Uma transformação linear 线性变换 é uma função que mapeia todo vetor para um novo vetor.
- Ela mantém a origem fixa e mantém as linhas da grade retas e uniformemente espaçadas.
- Sem curvas, sem rasgos — linhas paralelas permanecem paralelas.
- Toda transformação linear do plano pode ser escrita como multiplicação por uma matriz.
A linear transformation of the plane always… · Uma transformação linear do plano sempre…
A linear transformation keeps the origin fixed and maps straight, evenly-spaced grid lines to straight, evenly-spaced lines. · Uma transformação linear mantém a origem fixa e mapeia linhas retas e uniformemente espaçadas da grade para linhas retas e uniformemente espaçadas.
The columns say where the axes go
- Column 1 shows where the vector $\langle 1, 0\rangle$ lands; column 2, where $\langle 0, 1\rangle$ lands.
- Knowing those two images tells you where every point goes.
- To transform a vector, multiply the matrix by it (row-by-column).
- The unit square 单位正方形 becomes a parallelogram — its shape reveals the transformation.
As colunas dizem para onde os eixos vão
- A coluna 1 mostra para onde o vetor $\langle 1, 0\rangle$ pousa; a coluna 2, para onde $\langle 0, 1\rangle$ pousa.
- Saber essas duas imagens diz para onde todo ponto vai.
- Para transformar um vetor, multiplique a matriz por ele (linha por coluna).
- O quadrado unitário 单位正方形 vira um paralelogramo — sua forma revela a transformação.
The columns of the matrix tell you where the two basis ____ land. · As colunas da matriz dizem onde as duas bases ____ pousam.
Column 1 is where $\langle1,0\rangle$ lands and column 2 is where $\langle0,1\rangle$ lands — that fully describes the transformation. · Coluna 1 é para onde $\langle1,0\rangle$ pousa e coluna 2 é para onde $\langle0,1\rangle$ pousa — isso descreve totalmente a transformação.
The matrix $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ sends $\langle1,1\rangle$ to · até $\langle 2\cdot1+1\cdot1,\ 1\rangle$. What is the new $x$? · A matriz $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ envia $\langle1,1\rangle$ para $\langle 2\cdot1+1\cdot1,\ 1\rangle$. Qual é o novo $x$?
Row 1 dotted with $\langle1,1\rangle$: $2\cdot1 + 1\cdot1 = 3$, so the image is $\langle3, 1\rangle$. · Linha 1 ponto com $\langle1,1\rangle$: $2\cdot1 + 1\cdot1 = 3$, então a imagem é $\langle3, 1\rangle$.
Familiar transformations
- Scaling: a diagonal matrix stretches or shrinks along the axes.
- Rotation: a special matrix spins the plane around the origin.
- Shear 错切: slides one direction while holding the other — like italic text.
- Reflection: flips the plane across a line.
Transformações familiares
- Escala: uma matriz diagonal estica ou encolhe ao longo dos eixos.
- Rotação: uma matriz especial gira o plano em torno da origem.
- Cisalhamento 错切: desliza em uma direção enquanto segura a outra — como texto itálico.
- Reflexão: inverte o plano através de uma linha.
Linear transformations as matrices · Transformações lineares como matrizes
A rotation is a linear transformation; this matrix turns the plane a quarter turn. · Uma rotação é uma transformação linear; esta matriz gira o plano um quarto de volta.
Doing one linear transformation after another corresponds to multiplying their matrices. · Fazer uma transformação linear após outra corresponde a multiplicar suas matrizes.
Composition of transformations is matrix multiplication — that is why the product order matters. · A composição de transformações é multiplicação de matrizes — é por isso que a ordem do produto importa.
Select all · todos true statements about linear transformations. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre transformações lineares.
Linear transformations keep lines straight — they never curve the grid. · Transformações lineares mantêm linhas retas — elas nunca curvam a grade.
Combining transformations
- Do one transformation, then another: the result is a single new transformation.
- Its matrix is the product of the two matrices.
- Because matrix products depend on order, "rotate then shear" differs from "shear then rotate".
- This is why computer graphics stack transformations by multiplying matrices.
Combinando transformações
- Faça uma transformação, depois outra: o resultado é uma única nova transformação.
- Sua matriz é o produto das duas matrizes.
- Como produtos de matrizes dependem da ordem, "rotacionar e depois cisalhar" difere de "cisalhar e depois rotacionar".
- É por isso que os gráficos por computador empilham transformações multiplicando matrizes.
The order of combined transformations matters. Applying $A$ then $B$ is the matrix product $BA$ — the second transformation's matrix goes on the left. Swapping the order usually gives a different result, just as $BA \ne AB$ for matrices.
A ordem das transformações combinadas importa. Aplicar $A$ seguido de $B$ resulta no produto matricial $BA$ — a matriz da segunda transformação fica à esquerda. Inverter a ordem geralmente produz um resultado diferente, assim como $BA \ne AB$ para matrizes.
Apply $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ to the corners of the unit square.
- $\langle1,0\rangle \to \langle2,0\rangle$ — the bottom edge doubles in length.
- $\langle0,1\rangle \to \langle1,1\rangle$ — the top slides right (a shear).
- The square becomes a slanted parallelogram, exactly as the figure shows.
Aplique $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ aos cantos do quadrado unitário.
- $\langle1,0\rangle \to \langle2,0\rangle$ — a borda inferior dobra de comprimento.
- $\langle0,1\rangle \to \langle1,1\rangle$ — o topo desliza para a direita (um cisalhamento).
- O quadrado se torna um paralelogramo inclinado, exatamente como mostra a figura.
A linear transformation maps every vector to a new one, keeping the origin fixed and grid lines straight — and every one is multiplication by a matrix. The matrix's columns are where the axes land, so it turns the unit square into a parallelogram. Combining transformations means multiplying matrices, and order matters.
Uma transformação linear mapeia cada vetor para um novo, mantendo a origem fixa e as linhas da grade retas — e todas são multiplicações por uma matriz. As colunas da matriz mostram onde os eixos pousam, convertendo o quadrado unitário em um paralelogramo. Combinar transformações significa multiplicar matrizes, e a ordem importa.