Vectors · Vetores
| English | Português |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | vetor |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | magnitude |
| scalar/ˈskeɪlə/ | escalar |
| component form/kəmˈpəʊnənt fɔːm/ | forma componente |
Size and direction together
- "Drive $5$ km" is incomplete — you need to know which way.
- Many quantities are like this: velocity, force, displacement all carry a direction.
- A single number cannot capture both how much and which way.
- We need a new object — the vector — drawn as an arrow.
Tamanho e direção juntos
- "Dirija $5$ km" é incompleto — você precisa saber para onde.
- Muitas quantidades são assim: velocidade, força, deslocamento carregam todos uma direção.
- Um número único não consegue capturar tanto quanto quanto e para onde.
- Precisamos de um novo objeto — o vetor — desenhado como uma seta.
What a vector is
- A vector 向量 has two pieces of information: a magnitude 大小 (length) and a direction.
- It is drawn as an arrow: the length is the magnitude, the way it points is the direction.
- Contrast a scalar 标量 — a plain number with size only, like temperature or mass.
- Velocity is a vector; speed (just the number) is a scalar.
O que é um vetor
- Um vetor (向量) possui duas informações: uma magnitude (大小) (comprimento) e uma direção.
- É desenhado como uma seta: o comprimento é a magnitude, o sentido em que aponta é a direção.
- Contraste com um escalar (标量) — um simples número com tamanho apenas, como temperatura ou massa.
- Velocidade é um vetor; rapidez (apenas o número) é um escalar.
A vector is a quantity with… · Um vetor é uma quantidade com…
A vector carries both size and direction, unlike a scalar (a plain number with size only). · Um vetor carrega tanto tamanho quanto direção, diferentemente de um escalar (um número comum com apenas tamanho).
Component form
- Break a vector into how far it goes across and up: its component form 分量形式.
- $\langle 3, 2\rangle$ means $3$ to the right and $2$ up.
- The horizontal and vertical components are like the legs of a right triangle.
- Adding vectors is as easy as adding their components separately.
Forma de componentes
- Decomponha um vetor em quão longe ele vai lateralmente e para cima: sua forma de componentes (分量形式).
- $\langle 3, 2\rangle$ significa $3$ para a direita e $2$ para cima.
- Os componentes horizontal e vertical são como os catetos de um triângulo retângulo.
- Somar vetores é tão fácil quanto somar seus componentes separadamente.
Add two vectors tip to tail · Adicionar dois vetores ponta com cauda
Drag the two vectors and watch their sum. A vector has both a direction and a magnitude, unlike a plain number. · Arraste os dois vetores e observe sua soma. Um vetor possui tanto direção quanto magnitude, diferentemente de um número comum.
The · A component form $\langle 3, 2\rangle$ means the vector goes… · A forma componente $\langle 3, 2\rangle$ significa que o vetor vai…
Component form lists the horizontal change then the vertical change: $\langle 3, 2\rangle$ is 3 right, 2 up. · Forma componente lista a mudança horizontal seguida pela vertical: $\langle 3, 2\rangle$ é 3 para a direita, 2 para cima.
What is the magnitude of the vector $\langle 3, 4\rangle$? · Qual é a magnitude do vetor $\langle 3, 4\rangle$?
Magnitude $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ — the length of the arrow, by the Pythagorean theorem. · Magnitude $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ — o comprimento da seta, pelo teorema de Pitágoras.
Select all · todos true statements about vectors. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre vetores.
A single number is a scalar, not a vector. The other three are correct. · Um número único é um escalar, não um vetor. As outras três estão corretas.
Finding the magnitude
- The magnitude is the arrow's length, found by the Pythagorean theorem.
- For $\langle a, b\rangle$, the magnitude is $\sqrt{a^2 + b^2}$.
- So $\langle 3, 4\rangle$ has magnitude $\sqrt{9 + 16} = 5$.
- The components are the legs; the magnitude is the hypotenuse.
Encontrando a magnitude
- A magnitude é o comprimento da seta, encontrado pelo teorema de Pitágoras.
- Para $\langle a, b\rangle$, a magnitude é $\sqrt{a^2 + b^2}$.
- Logo $\langle 3, 4\rangle$ tem magnitude $\sqrt{9 + 16} = 5$.
- Os componentes são os catetos; a magnitude é a hipotenusa.
Multiplying a vector by the scalar $2$ doubles its length but keeps its direction. · Multiplicar um vetor pelo escalar $2$ dobra seu comprimento, mas mantém a direção.
A positive scalar scales the magnitude and leaves the direction unchanged; a negative one also reverses it. · Um escalar positivo escala a magnitude e deixa a direção inalterada; um negativo também a inverte.
Scaling and adding
- Multiply a vector by a scalar to stretch or shrink it: $2\langle 3, 2\rangle = \langle 6, 4\rangle$.
- A negative scalar also flips its direction.
- Add two vectors by adding components, or geometrically tip-to-tail.
- These operations let vectors model combined forces and motions.
Escalonamento e adição
- Multiplique um vetor por um escalar para alongá-lo ou encurtá-lo: $2\langle 3, 2\rangle = \langle 6, 4\rangle$.
- Um escalar negativo também inverte sua direção.
- Some dois vetores adicionando componentes, ou geometricamente ponta-a-cauda.
- Essas operações permitem que vetores modelem forças combinadas e movimentos.
Do not confuse a vector's magnitude with its components. The vector $\langle 3, 4\rangle$ has components $3$ and $4$, but magnitude $5$ — not $7$. The length is the hypotenuse, never the sum of the parts.
Não confunda a magnitude de um vetor com seus componentes. O vetor $\langle 3, 4\rangle$ tem componentes $3$ e $4$, mas magnitude $5$ — não $7$. O comprimento é a hipotenusa, nunca a soma das partes.
A boat heads $\langle 6, 8\rangle$ (km east, km north). How far has it travelled?
- The distance is the magnitude: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ km.
- Its direction is up-and-to-the-right, steeper than $45°$ (more north than east).
- Doubling the vector to $\langle 12, 16\rangle$ would double the distance to $20$ km.
Um barco navega $\langle 6, 8\rangle$ (km a leste, km ao norte). Quão longe ele viajou?
- A distância é a magnitude: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ km.
- Sua direção é para cima e para a direita, mais íngreme que $45°$ (mais norte que leste).
- Dobrar o vetor até $\langle 12, 16\rangle$ dobraria a distância até $20$ km.
A vector carries both magnitude and direction, drawn as an arrow — unlike a scalar (a plain number). Its component form $\langle a, b\rangle$ lists horizontal and vertical parts, and its magnitude is $\sqrt{a^2 + b^2}$. Scale by multiplying, add by combining components.
Um vetor carrega tanto magnitude quanto direção, desenhado como uma seta — diferentemente de um escalar (um número simples). Sua forma componente $\langle a, b\rangle$ lista as partes horizontal e vertical, e sua magnitude é $\sqrt{a^2 + b^2}$. Escale multiplicando, adicione combinando componentes.