Parametric Functions · Funções Paramétricas
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|---|---|
| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | função paramétrica |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | equações paramétricas |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | parâmetro |
Following a moving point
- A bird's flight cannot be captured by "$y$ as a function of $x$" — it loops and doubles back.
- Instead, describe where the bird is at each moment: its $x$ and its $y$, each depending on time.
- That is the parametric idea: a third variable drives both coordinates.
- It frees us to draw any path, not just curves that pass the vertical-line test.
Seguindo um ponto em movimento
- O voo de um pássaro não pode ser capturado por "$y$ como função de $x$" — ele faz loops e volta para trás.
- Em vez disso, descreva onde o pássaro está em cada momento: sua $x$ e sua $y$, cada uma dependendo do tempo.
- Essa é a ideia paramétrica: uma terceira variável aciona ambas as coordenadas.
- Isso nos liberta para desenhar qualquer caminho, não apenas curvas que passam no teste da linha vertical.
What a parametric function is
- A parametric function 参数方程函数 gives two rules: $x = x(t)$ and $y = y(t)$.
- These parametric equations 参数方程 share a common input $t$.
- For each value of $t$, you get one point $(x(t), y(t))$ on the curve.
- As $t$ runs through its interval, the point sweeps out the whole path.
O que é uma função paramétrica
- Uma função paramétrica 参数方程函数 fornece duas regras: $x = x(t)$ e $y = y(t)$.
- Estas equações paramétricas 参数方程 compartilham uma entrada comum $t$.
- Para cada valor de $t$, você obtém um ponto $(x(t), y(t))$ na curva.
- À medida que $t$ percorre seu intervalo, o ponto varre todo o caminho.
A parametric function describes a curve using… · Uma função paramétrica descreve uma curva usando…
A parametric function gives $x$ and · e $y$ each as a function of a parameter $t$: the pair $(x(t), y(t))$ traces the curve. · Uma função paramétrica dá $x$ e $y$ cada uma como uma função de um parâmetro $t$: o par $(x(t), y(t))$ traça a curva.
For · A favor $x = t^2 - 3$ and · e $y = t$, what is the $x$-coordinate when $t = 2$? · Para $x = t^2 - 3$ e $y = t$, qual é a coordenada $x$ quando $t = 2$?
$x = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$; and $y = t = 2$, so the point is $(1, 2)$. · $x = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$; e $y = t = 2$, então o ponto é $(1, 2)$.
A path, not a function of x
- Because both coordinates depend on $t$, the curve can loop, cross itself, or double back.
- It need not be a function of $x$ — a full circle or a spiral is perfectly fine.
- This is the key advantage over ordinary $y = f(x)$ graphs.
- The same picture would be impossible to write as a single $y$ in terms of $x$.
Um caminho, não uma função de x
- Como ambas as coordenadas dependem de $t$, a curva pode fazer loop, cruzar a si mesma ou voltar atrás.
- Não precisa ser uma função de $x$ — um círculo completo ou uma espiral são perfeitamente válidos.
- Esta é a vantagem chave sobre gráficos ordinários de $y = f(x)$.
- A mesma imagem seria impossível de escrever como uma única $y$ em termos de $x$.
A parametric curve can trace a shape that is not a function of $x$ (like a full circle). · Uma curva paramétrica pode traçar uma forma que não é uma função de $x$ (como um círculo completo).
Because both coordinates depend on $t$, the path can loop or double back — it need not pass the vertical-line test. · Porque ambas as coordenadas dependem de $t$, o caminho pode fazer loop ou voltar atrás — não precisa passar no teste da linha vertical.
The independent variable $t$ that drives both $x$ and · e $y$ is called the ____. · A variável independente $t$ que aciona tanto $x$ quanto $y$ é chamada de ____.
The · A parameter $t$ (often time) determines a single point $(x(t), y(t))$ for each of its values. · O parâmetro $t$ (muitas vezes tempo) determina um único ponto $(x(t), y(t))$ para cada um de seus valores.
Select all · todos true statements about parametric functions. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre funções paramétricas.
A parametric curve need not · não be a function of $x$ — that is its advantage. The other three are correct. · Uma curva paramétrica não precisa ser uma função de $x$ — essa é sua vantagem. As outras três estão corretas.
The parameter
- The driving variable $t$ is the parameter 参数, and it often stands for time.
- Different values of $t$ place the point at different spots along the curve.
- The direction of increasing $t$ gives the path an orientation — the way it is traced.
- Restricting $t$ to an interval draws only part of the curve.
O parâmetro
- A variável motriz $t$ é o parâmetro 参数, e muitas vezes representa o tempo.
- Diferentes valores de $t$ posicionam o ponto em locais diferentes ao longo da curva.
- A direção de aumento de $t$ dá ao caminho uma orientação — a forma como é traçado.
- Restringir $t$ a um intervalo desenha apenas parte da curva.
What parametric form allows · Que forma paramétrica permite
In parametric form, x and y each depend on a parameter t. Sort each statement. · Na forma paramétrica, x e y dependem cada uma de um parâmetro t. Classifique cada afirmação.
Eliminating the parameter
- Sometimes you can solve one equation for $t$ and substitute to get a plain $y$–$x$ relation.
- For $x = t$, $y = t^2$, substituting gives $y = x^2$ — a familiar parabola.
- This recovers the shape but throws away the timing and direction.
- Keep the parametric form when the motion, not just the shape, matters.
Eliminando o parâmetro
- Às vezes você pode resolver uma equação para $t$ e substituir para obter uma relação simples de $y$–$x$.
- Para $x = t$, $y = t^2$, substituindo obtemos $y = x^2$ — uma parábola familiar.
- Isso recupera a forma, mas perde o tempo e a direção.
- Mantenha a forma paramétrica quando o movimento, não apenas a forma, importa.
A parametric curve carries more information than its shape alone: it also has a direction and timing. Two different parametrizations can trace the same shape at different speeds or in opposite directions — do not treat them as identical.
Uma curva paramétrica carrega mais informação do que sua forma sozinha: ela também tem uma direção e temporização. Duas parametrizações diferentes podem traçar a mesma forma em velocidades diferentes ou em direções opostas — não as trate como idênticas.
Plot $x = t^2 - 3$, $y = t$ for $t = -2, -1, 0, 1, 2$.
- Points: $(1, -2), (-2, -1), (-3, 0), (-2, 1), (1, 2)$.
- Joined in order, they trace a sideways parabola opening to the right.
- No vertical line rule applies — this is not a function of $x$.
Plote $x = t^2 - 3$, $y = t$ para $t = -2, -1, 0, 1, 2$.
- Pontos: $(1, -2), (-2, -1), (-3, 0), (-2, 1), (1, 2)$.
- Unidos em ordem, eles traçam uma parábola lateral abrindo para a direita.
- Nenhuma regra de linha vertical se aplica — isso não é uma função de $x$.
A parametric function describes a curve with parametric equations $x = x(t)$ and $y = y(t)$, driven by a parameter $t$ (often time). Because both coordinates depend on $t$, the path can loop and need not be a function of $x$, and it carries a direction and timing.
Uma função paramétrica descreve uma curva com equações paramétricas $x = x(t)$ e $y = y(t)$, controlada por um parâmetro $t$ (frequentemente o tempo). Como ambas as coordenadas dependem de $t$, a trajetória pode fazer laços e não precisa ser uma função de $x$, além de possuir direção e cronometragem.