Parametric Functions and Planar Motion · Funções Paramétricas e Movimento Plano
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| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | função paramétrica |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | parâmetro |
Where is it, right now?
- Throw a ball and it follows a graceful arc through the air.
- To describe that flight, we track its horizontal and vertical positions over time.
- Each is its own function of time — and together they give the ball's location at every moment.
- This is exactly what parametric functions were made for.
Onde está ele, agora?
- Lançar uma bola e ela seguir um arco elegante pelo ar.
- Para descrever esse voo, rastreamos suas posições horizontal e vertical ao longo do tempo.
- Cada uma é sua própria função do tempo — e juntas elas dão a localização da bola em cada instante.
- É exatamente para isso que as funções paramétricas foram criadas.
Position over time
- A parametric function 参数方程函数 models motion by giving position $(x(t), y(t))$ at each time.
- The parameter 参数 $t$ is the clock; plug in a time and read off the location.
- Horizontal motion lives in $x(t)$; vertical motion lives in $y(t)$.
- The pair traces the object's path across the plane.
Posição ao longo do tempo
- Uma função paramétrica 参数方程函数 modela o movimento fornecendo a posição $(x(t), y(t))$ em cada instante.
- O parâmetro 参数 $t$ é o relógio; insira um tempo e leia a localização.
- O movimento horizontal vive em $x(t)$; o movimento vertical vive em $y(t)$.
- O par traça a trajetória do objeto pelo plano.
When parametric functions model motion, the parameter $t$ usually represents… · Quando funções paramétricas modelam movimento, o parâmetro $t$ geralmente representa…
In a · Em uma parametric function modeling motion, $t$ is time, and $(x(t), y(t))$ is the object's position then. · Em uma função paramétrica modelando movimento, $t$ é o tempo, e $(x(t), y(t))$ é a posição do objeto naquele momento.
Splitting the motion
- The great trick is that $x$ and $y$ can be analysed independently.
- A thrown ball moves at a steady horizontal speed while gravity curves its vertical motion.
- So $x(t)$ might be linear while $y(t)$ is a downward parabola.
- Combine them and the ball follows its familiar arc.
Separando o movimento
- A grande astúcia é que $x$ e $y$ podem ser analisados independentemente.
- Uma bola lançada se move com velocidade horizontal constante enquanto a gravidade curva seu movimento vertical.
- Então $x(t)$ pode ser linear enquanto $y(t)$ é uma parábola voltada para baixo.
- Combiná-los faz a bola seguir seu arco familiar.
A ball has $x = 3t$ and · e $y = 20t - 5t^2$. What is its height $y$ at $t = 2$? · Uma bola tem $x = 3t$ e $y = 20t - 5t^2$. Qual é sua altura $y$ em $t = 2$?
$y = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 20 = 20$; and $x = 3(2) = 6$, so the ball is at $(6, 20)$. · $y = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 20 = 20$; e $x = 3(2) = 6$, então a bola está em $(6, 20)$.
The object's starting position is found by evaluating $x$ and · e $y$ at $t =$ ____. · A posição inicial do objeto é encontrada avaliando $x$ e $y$ em $t =$ ____.
At $t = 0$ the motion begins, so $(x(0), y(0))$ is the initial position. · Em $t = 0$ o movimento começa, então $(x(0), y(0))$ é a posição inicial.
Select all · todos true statements about parametric motion. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre movimento paramétrico.
A parametric path can curve (like a thrown ball's arc), not just be a line. The other three are correct. · Um caminho paramétrico pode curvar (como o arco de uma bola arremessada), não apenas ser uma linha. As outras três estão corretas.
Reading the motion
- The starting point is at $t = 0$: evaluate $x(0)$ and $y(0)$.
- Later times give later positions along the path.
- Where the path is highest, the vertical motion has momentarily stopped rising.
- Following $t$ upward shows the direction of travel.
Lendo o movimento
- O ponto inicial está em $t = 0$: avalie $x(0)$ e $y(0)$.
- Tempos posteriores dão posições posteriores ao longo da trajetória.
- Onde a trajetória está mais alta, o movimento vertical parou momentaneamente de subir.
- Seguir $t$ para cima mostra a direção do deslocamento.
A path traced by a parameter · Um caminho traçado por um parâmetro
As the parameter runs, the point moves and traces out a planar curve. · À medida que o parâmetro percorre, o ponto se move e traça uma curva plana.
The horizontal and vertical motions can be analysed separately as $x(t)$ and · e $y(t)$. · Os movimentos horizontal e vertical podem ser analisados separadamente como $x(t)$ e $y(t)$.
Splitting motion into independent $x$ and · e $y$ parts is the great strength of the parametric view. · Dividir o movimento em partes independentes $x$ e $y$ é a grande força da visão paramétrica.
Beyond position
- From the position functions you can ask how fast each coordinate is changing.
- That leads to velocity — the next lesson's rates of change.
- You can also find when the object lands (where $y = 0$ again) or how far it travels.
- Parametric motion turns geometry into a moving story.
Além da posição
- A partir das funções de posição, você pode perguntar como cada coordenada está mudando.
- Isso leva à velocidade — taxas de variação da próxima aula.
- Você também pode descobrir quando o objeto pousa (onde $y = 0$ novamente) ou quão longe ele viaja.
- O movimento paramétrico transforma geometria em uma história em movimento.
Do not confuse the path with the motion. The picture of the arc shows the shape, but the parametrization also encodes when the ball is at each point and how fast. Two balls can share a path yet move along it very differently.
Não confunda a trajetória com o movimento. A imagem do arco mostra a forma, mas a parametrização também codifica quando a bola está em cada ponto e quão rápido. Duas bolas podem compartilhar uma trajetória e ainda assim se mover ao longo dela de formas muito diferentes.
A ball has $x = 3t$ and $y = 20t - 5t^2$ (metres, seconds).
- At $t = 0$: position $(0, 0)$ — it starts at the origin.
- At $t = 2$: $x = 6$, $y = 40 - 20 = 20$ — it is $6$ m across and $20$ m high.
- It lands when $y = 0$ again: $20t - 5t^2 = 0 \Rightarrow t = 4$ s.
Uma bola tem $x = 3t$ e $y = 20t - 5t^2$ (metros, segundos).
- Em $t = 0$: posição $(0, 0)$ — ela começa na origem.
- Em $t = 2$: $x = 6$, $y = 40 - 20 = 20$ — ela está $6$ m de largura e $20$ m de altura.
- Ela pousa quando $y = 0$ novamente: $20t - 5t^2 = 0 \Rightarrow t = 4$ s.
A parametric function models planar motion by giving position $(x(t), y(t))$ at each time, with the parameter $t$ as the clock. Horizontal and vertical motion split into $x(t)$ and $y(t)$, which can be analysed separately and recombined into the path.
Uma função paramétrica modela o movimento planar fornecendo a posição $(x(t), y(t))$ em cada instante, com o parâmetro $t$ como o relógio. O movimento horizontal e vertical se dividem em $x(t)$ e $y(t)$, que podem ser analisados separadamente e recombinados na trajetória.