Polar Coordinates · Coordenadas Polares
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|---|---|
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | coordenadas polares |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radianos |
| polar grid/ˈpəʊlə ɡrɪd/ | grade polar |
A different way to say "where"
- Usually we locate a point by "go right $x$, go up $y$" — rectangular coordinates.
- But a radar screen or a compass thinks differently: "how far, and in which direction?"
- That is the polar way: a distance and an angle.
- For anything that spins or radiates, polar coordinates are far more natural.
Uma maneira diferente de dizer "onde"
- Geralmente localizamos um ponto dizendo "vá direita $x$, vá cima $y$" — coordenadas retangulares.
- Mas uma tela de radar ou uma bússola pensa diferente: "a quão longe, e em qual direção?"
- Essa é a forma polar: uma distância e um ângulo.
- Para qualquer coisa que gire ou irradie, coordenadas polares são muito mais naturais.
A point as (r, θ)
- Polar coordinates 极坐标 name a point by $(r, \theta)$.
- $r$ is the distance from the origin (the pole); $\theta$ is the angle from the positive x-axis.
- The angle is measured in radians 弧度 (or degrees), counter-clockwise.
- So $(2, \tfrac{\pi}{4})$ means "go out $2$ units at a $45°$ direction".
Um ponto como (r, θ)
- Coordenadas polares 极坐标 nomeiam um ponto por $(r, \theta)$.
- $r$ é a distância da origem (o polo); $\theta$ é o ângulo em relação ao eixo x positivo.
- O ângulo é medido em radianos 弧度 (ou graus), anti-horário.
- Então $(2, \tfrac{\pi}{4})$ significa "saia $2$ unidades numa direção $45°$".
In polar coordinates $(r, \theta)$, the two numbers give… · Em coordenadas polares $(r, \theta)$, os dois números fornecem…
Polar coordinates · Coordenadas polares use · usar $r$ (distance from the origin) and $\theta$ (angle), unlike the $(x, y)$ of rectangular coordinates. · Coordenadas polares usam $r$ (distância da origem) e $\theta$ (ângulo), diferentemente das $(x, y)$ de coordenadas retangulares.
The polar grid
- A polar grid 极坐标网格 is a set of concentric circles (constant $r$) and radial lines (constant $\theta$).
- Reading a point is easy: find its circle, then its radial line.
- The origin is $r = 0$, the single centre of all the circles.
- This grid replaces the familiar square graph paper of rectangular coordinates.
A grade polar
- Uma grade polar 极坐标网格 é um conjunto de círculos concêntricos (constante $r$) e linhas radiais (constante $\theta$).
- Ler um ponto é fácil: encontre seu círculo, depois sua linha radial.
- A origem é $r = 0$, o centro único de todos os círculos.
- Esta grade substitui o papel quadriculado familiar das coordenadas retangulares.
Locate a point by radius and angle · Localize um ponto por raio e ângulo
Set the angle and the radius to place a point. Polar coordinates (r, theta) describe location by direction and distance. · Defina o ângulo e o raio para posicionar um ponto. Coordenadas polares (r, theta) descrevem localização por direção e distância.
To convert $(r, \theta)$ to rectangular $(x, y)$, use… · Para converter $(r, \theta)$ em retangulares $(x, y)$, use…
The unit-circle relationship scales up by $r$: $x = r\cos\theta$ and · e $y = r\sin\theta$. · A relação do círculo unitário escala por $r$: $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$.
A point has $r = 2$ and · e $\theta = 0$. What is its $x$-coordinate? · Um ponto tem $r = 2$ e $\theta = 0$. Qual é sua coordenada $x$?
$x = r\cos\theta = 2\cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$; and $y = 2\sin 0 = 0$. · $x = r\cos\theta = 2\cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$; e $y = 2\sin 0 = 0$.
Select all · todos true statements about polar coordinates. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre coordenadas polares.
Polar forms are not · não unique — many $(r, \theta)$ name the same point. The other three are correct. · Formas polares não são únicas — muitos $(r, \theta)$ nomeiam o mesmo ponto. As outras três estão corretas.
Converting between systems
- Polar to rectangular: $x = r\cos\theta$ and $y = r\sin\theta$.
- Rectangular to polar: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ and $\theta = \arctan\!\tfrac{y}{x}$ (mind the quadrant).
- These come straight from the unit-circle definitions, scaled by $r$.
- Switch to whichever system makes the problem simpler.
Convertendo entre sistemas
- Polar para retangular: $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$.
- Retangular para polar: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ e $\theta = \arctan\!\tfrac{y}{x}$ (atenção ao quadrante).
- Estas vêm diretamente das definições do círculo unitário, escaladas por $r$.
- Alterne para o sistema que tornar o problema mais simples.
The same point can have more than one set of polar coordinates (e.g. adding $2\pi$ to the angle). · O mesmo ponto pode ter mais de um conjunto de coordenadas polares (ex.: adicionando $2\pi$ ao ângulo).
Adding a full turn to $\theta$ lands on the same point, so polar coordinates are not unique. · Adicionar uma volta completa a $\theta$ pousa no mesmo ponto, então as coordenadas polares não são únicas.
Not a unique address
- Unlike $(x, y)$, a polar point has many names.
- Adding $2\pi$ to $\theta$ lands on the very same point.
- A negative $r$ points in the opposite direction, giving yet another name.
- So $(2, 0)$, $(2, 2\pi)$, and $(-2, \pi)$ are all the same point.
Não é um endereço único
- Diferente de $(x, y)$, um ponto polar tem muitos nomes.
- Adicionar $2\pi$ a $\theta$ pousa exatamente no mesmo ponto.
- Um $r$ negativo aponta na direção oposta, dando outro nome.
- Então $(2, 0)$, $(2, 2\pi)$ e $(-2, \pi)$ são todos o mesmo ponto.
Polar coordinates are not unique: one point has infinitely many $(r, \theta)$ names. When converting or solving, watch the quadrant and remember that $\arctan$ alone can land you in the wrong half of the plane.
Coordenadas polares são não únicas: um ponto tem infinitos $(r, \theta)$ nomes. Ao converter ou resolver, observe o quadrante e lembre-se que $\arctan$ sozinho pode te levar à metade errada do plano.
Convert the polar point $(4, \tfrac{\pi}{2})$ to rectangular coordinates.
- $x = r\cos\theta = 4\cos\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 0 = 0$.
- $y = r\sin\theta = 4\sin\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 1 = 4$.
- So the point is $(0, 4)$ — straight up the y-axis.
Converta o ponto polar $(4, \tfrac{\pi}{2})$ para coordenadas retangulares.
- $x = r\cos\theta = 4\cos\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 0 = 0$.
- $y = r\sin\theta = 4\sin\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 1 = 4$.
- Então o ponto é $(0, 4)$ — reto para cima no eixo y.
Polar coordinates locate a point as $(r, \theta)$: a distance $r$ from the origin at angle $\theta$, plotted on a polar grid. Convert with $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Polar names are not unique — adding a full turn gives the same point.
Coordenadas polares localizam um ponto como $(r, \theta)$: uma distância $r$ da origem com ângulo $\theta$, traçado em uma grade polar. Converta usando $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Nomes polares não são únicos — adicionar uma volta completa dá o mesmo ponto.