Equivalent Trigonometric Expressions · Expressões Trigonométricas Equivalentes
| English | Português |
|---|---|
| identity/aɪˈdentɪti/ | identidade |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | equivalente |
| Pythagorean identity/ˈpaɪθəɡɔːrɪən aɪˈdentɪti/ | identidade pitagórica |
| sine/saɪn/ | seno |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | cosseno |
Two faces of the same expression
- The same trig quantity can be written in many equal-looking-but-different ways.
- $\sin^2\theta$ can become $1 - \cos^2\theta$; $\tan\theta$ can become $\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- These swaps are powered by identities — equations true for every angle.
- Choosing the right form turns a hard problem into an easy one.
Duas faces da mesma expressão
- A mesma quantidade trigonométrica pode ser escrita de muitas maneiras iguais visualmente, mas diferentes.
- $\sin^2\theta$ pode virar $1 - \cos^2\theta$; $\tan\theta$ pode virar $\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- Essas trocas são impulsionadas por identidades — equações verdadeiras para todo ângulo.
- Escolher a forma certa transforma um problema difícil em um fácil.
What an identity is
- A trigonometric identity 恒等式 is an equation true for all valid angles.
- This is different from an equation you solve, which holds only at special angles.
- Two expressions linked by an identity are equivalent 等价 everywhere.
- So you can substitute one for the other whenever it helps.
O que é uma identidade
- Uma identidade trigonométrica 恒等式 é uma equação verdadeira para todos os ângulos válidos.
- Isso é diferente de uma equação que você resolve, que só vale em ângulos especiais.
- Duas expressões ligadas por uma identidade são equivalentes 等价 em tudo.
- Então você pode substituir uma pela outra sempre que ajudar.
Watch the Pythagorean identity hold · Observe a identidade pitagórica ser mantida
For any angle, the point on the unit circle satisfies cos squared plus sin squared equals 1 — the master trig identity. · Para qualquer ângulo, o ponto no círculo unitário satisfaz cos² + sin² = 1 — a identidade mestra trigonométrica.
A trigonometric identity is an equation that is true… · Uma identidade trigonométrica é uma equação que é verdadeira…
An identity holds for all · todos valid inputs — unlike an equation you solve for particular values. · Uma identidade vale para todos os entradas válidas — diferentemente de uma equação que você resolve para valores particulares.
The Pythagorean identity
- The master identity is the Pythagorean identity 勾股恒等式: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
- It comes straight from the unit circle, where $(\cos\theta, \sin\theta)$ has radius $1$.
- Rearranged, it gives $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ and $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$.
- Dividing by $\cos^2$ or $\sin^2$ produces the secant and cosecant versions.
A identidade pitagórica
- A identidade mestra é a identidade pitagórica 勾股恒等式: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
- Ela vem diretamente do círculo unitário, onde $(\cos\theta, \sin\theta)$ tem raio $1$.
- Reorganizada, ela dá $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ e $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$.
- Dividindo por $\cos^2$ ou $\sin^2$ produz as versões de secante e cossecante.
The · A Pythagorean identity states that… · A identidade pitagórica afirma que…
Because a unit-circle point $(\cos\theta, \sin\theta)$ has radius $1$: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$. · Como um ponto do círculo unitário $(\cos\theta, \sin\theta)$ tem raio $1$: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
Select all · todos true statements about trig identities. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre identidades trigonométricas.
An identity is true for all · todos angles, not just one. The other three are correct. · Uma identidade é verdadeira para todos os ângulos, não apenas um. As outras três estão corretas.
A toolbox of identities
- Reciprocal identities: $\sec = \tfrac{1}{\cos}$, and so on.
- Quotient identity: $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- Even/odd: $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, $\cos(-\theta) = \cos\theta$.
- Together they let you rewrite almost any trig expression in a new form.
Uma caixa de ferramentas de identidades
- Identidades recíprocas: $\sec = \tfrac{1}{\cos}$, etc.
- Identidade quociente: $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- Par/impar: $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, $\cos(-\theta) = \cos\theta$.
- Juntas elas permitem reescrever quase qualquer expressão trigonométrica em uma nova forma.
If $\sin\theta = 0.6$, then from the Pythagorean identity $\cos^2\theta = 1 - 0.36 =$ ____. · Se $\sin\theta = 0.6$, então da identidade pitagórica $\cos^2\theta = 1 - 0.36 =$ ____.
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$, so $\cos\theta = \pm 0.8$. · $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$, logo $\cos\theta = \pm 0.8$.
Identities let you rewrite a trig expression as an equivalent one that may be easier to work with. · Identidades permitem reescrever uma expressão trigonométrica como uma equivalente que pode ser mais fácil de manipular.
That is their main use: swap in an equal form to simplify an expression or solve an equation. · Esse é seu uso principal: substituir por uma forma igual para simplificar uma expressão ou resolver uma equação.
Using identities
- To simplify, replace part of an expression with an equal form until it collapses.
- To solve an equation, rewrite everything in terms of one function (say, all sine).
- To verify an identity, transform one side until it matches the other.
- The sine 正弦 and cosine 余弦 forms are usually the safest to aim for.
Usando identidades
- Para simplificar, substitua parte de uma expressão por uma forma igual até colapsar.
- Para resolver uma equação, reescreva tudo em termos de uma função (digamos, todo seno).
- Para verificar uma identidade, transforme um lado até que corresponda ao outro.
- As formas de seno 正弦 e cosseno 余coseno são geralmente as mais seguras para alinhar.
An identity holds for all angles, so both sides must match everywhere — you cannot "prove" one by plugging in a single value. Testing $\theta = 0$ can disprove a false identity, but confirming one angle never proves a true one.
Uma identidade vale para todos os ângulos, então ambos os lados devem coincidir em tudo — você não pode "provar" uma inserindo um único valor. Testar $\theta = 0$ pode desprovar uma identidade falsa, mas confirmar um ângulo nunca prova uma verdadeira.
Given $\sin\theta = 0.6$ with $\theta$ acute, find $\cos\theta$.
- Pythagorean identity: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$.
- So $\cos\theta = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8$.
- Since $\theta$ is acute, cosine is positive: $\cos\theta = 0.8$.
Dado $\sin\theta = 0.6$ com $\theta$ agudo, encontre $\cos\theta$.
- Identidade pitagórica: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$.
- Então $\cos\theta = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8$.
- Como $\theta$ é agudo, o cosseno é positivo: $\cos\theta = 0.8$.
A trig identity is true for every angle, so it lets you swap an expression for an equivalent one. The master identity is the Pythagorean identity $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$; combined with the reciprocal and quotient identities, it rewrites any trig expression in sine and cosine form.
Uma identidade trigonométrica é verdadeira para todo ângulo, então permite trocar uma expressão por uma equivalente. A identidade mestra é a identidade pitagórica $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$; combinada com as identidades recíprocas e quocientes, reescreve qualquer expressão trigonométrica na forma de seno e cosseno.