Trigonometric Equations and Inequalities · Equações e Desigualdades Trigonométricas
| English | Português |
|---|---|
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverso |
| sine/saɪn/ | seno |
When does the wave hit a target?
- "At what times is the tide exactly $3$ m?" becomes a trig equation.
- Because the wave repeats, the answer is not one time but a whole rhythm of times.
- Solving means finding every angle where the function equals a target value.
- The unit circle and the period together deliver them all.
Quando a onda atinge um alvo?
- "Em quais horários a maré está exatamente $3$ m?" torna-se uma equação trigonométrica.
- Como a onda se repete, a resposta não é um único tempo, mas sim toda uma rítmica sequência de tempos.
- Resolver significa encontrar todo o ângulo onde a função é igual a um valor-alvo.
- O círculo unitário e o período juntos os fornecem todos.
Finding the first solution
- To solve $\sin x = 0.5$, first find one angle with the inverse 反函数: $\arcsin(0.5) = \tfrac{\pi}{6}$.
- That gives a single "starter" solution inside the restricted range.
- For cosine or tangent, use $\arccos$ or $\arctan$ the same way.
- This first angle is the seed from which all others grow.
Encontrando a primeira solução
- Para resolver $\sin x = 0.5$, encontre primeiro um ângulo com a inversa 反函数: $\arcsin(0.5) = \tfrac{\pi}{6}$.
- Isso fornece uma única solução "inicial" dentro do intervalo restrito.
- Para cosseno ou tangente, use $\arccos$ ou $\arctan$ da mesma forma.
- Este primeiro ângulo é a semente da qual todas as outras crescem.
To find a first solution of $\sin x = 0.5$, you use… · Para encontrar uma primeira solução de $\sin x = 0.5$, você usa…
The · A inverse · inverso gives one angle: $\arcsin(0.5) = 30°$ ($\tfrac{\pi}{6}$). Then use symmetry for the rest. · A inversa fornece um ângulo: $\arcsin(0.5) = 30°$ ($\tfrac{\pi}{6}$). Depois use simetria para o restante.
Then find them all
- The sine 正弦 wave meets a horizontal target line once every cycle, forever.
- So a trig equation usually has infinitely many solutions.
- Use the symmetry of the graph to find the second solution within one period.
- Then add whole multiples of the period 周期 to generate the endless rest.
Depois encontre-as todas
- A onda senoidal sine 正弦 encontra uma linha horizontal-alvo uma vez por ciclo, para sempre.
- Então uma equação trigonométrica geralmente tem infinitas soluções.
- Use a simetria do gráfico para encontrar a segunda solução dentro de um único período.
- Em seguida, adicione múltiplos inteiros do período 周期 para gerar o resto infinito.
Every crossing is a solution · Cada interseção é uma solução
y = sin x
The sine wave meets a horizontal target line again and again, so a trig equation has endlessly many solutions. · A onda senoidal encontra uma linha-alvo horizontal repetidamente, portanto uma equação trigonométrica possui infinitamente muitas soluções.
Over all real numbers, $\sin x = 0.5$ has… · Sobre todos os números reais, $\sin x = 0.5$ tem…
The wave meets the line $y = 0.5$ once every cycle, forever — infinitely many solutions. · A onda encontra a linha $y = 0.5$ uma vez a cada ciclo, para sempre — infinitamente muitas soluções.
To list every solution, add whole multiples of the ____ to a first solution. · Para listar todas as soluções, adicione múltiplos inteiros do ____ a uma primeira solução.
Because sine repeats, adding any multiple of its period · período ($2\pi$) gives another solution. · Como o seno se repete, adicionar qualquer múltiplo de seu período ($2\pi$) resulta em outra solução.
Select all · todos true statements about trig equations. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre equações trigonométricas.
Sine is capped at $1$, so $\sin x = 5$ has no solution. The other three are correct. · O seno é limitado em $1$, então $\sin x = 5$ não possui solução. As outras três estão corretas.
Inequalities
- A trig inequality like $\sin x > 0.5$ asks for the intervals where the wave is above a line.
- Solve the matching equation first to find the boundary angles.
- Then read off which arcs of the wave satisfy the inequality.
- The answer is a repeating set of intervals, one per period.
Desigualdades
- Uma desigualdade trigonométrica como $\sin x > 0.5$ pede os intervalos onde a onda está acima de uma linha.
- Resolva a equação correspondente primeiro para encontrar os ângulos de fronteira.
- Em seguida, leia quais arcos da onda satisfazem a desigualdade.
- A resposta é um conjunto repetitivo de intervalos, um por período.
The equation · A equação $\sin x = 2$ has no solution. · A equação $\sin x = 2$ não possui solução.
Sine never exceeds $1$, so $\sin x = 2$ can never happen — no solution exists. · O seno nunca excede $1$, então $\sin x = 2$ nunca pode acontecer — não existe solução.
When there is no solution
- Sine and cosine never leave $[-1, 1]$, so $\sin x = 2$ has no solution at all.
- Always check that the target value is reachable before solving.
- A tangent target, by contrast, is always reachable, since tangent is unbounded.
- Knowing each function's range saves you from chasing impossible answers.
Quando não há solução
- Seno e cosseno nunca saem de $[-1, 1]$, então $\sin x = 2$ não tem nenhuma solução.
- Sempre verifique se o valor-alvo é alcançável antes de resolver.
- Um valor-alvo de tangente, ao contrário, é sempre alcançável, pois a tangente não é limitada.
- Conhecer o intervalo de cada função economiza você perseguição de respostas impossíveis.
Do not report just the calculator's one answer. $\arcsin(0.5)$ gives $\tfrac{\pi}{6}$, but $\sin x = 0.5$ also holds at $\tfrac{5\pi}{6}$ and at every $+2\pi$ beyond both. A trig equation almost always has more solutions than the inverse alone reveals.
Não reporte apenas a única resposta da calculadora. $\arcsin(0.5)$ dá $\tfrac{\pi}{6}$, mas $\sin x = 0.5$ também vale em $\tfrac{5\pi}{6}$ e em todo $+2\pi$ além de ambos. Quase sempre uma equação trigonométrica tem mais soluções do que a própria inversa revela.
Solve $\cos x = 0$ for all $x$.
- One solution: $\arccos(0) = \tfrac{\pi}{2}$.
- Cosine is also $0$ at $\tfrac{3\pi}{2}$ — that is $\tfrac{\pi}{2} + \pi$.
- So the full solution is $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ for every integer $k$.
Resolva $\cos x = 0$ para todos $x$.
- Uma solução: $\arccos(0) = \tfrac{\pi}{2}$.
- Cosseno também é $0$ em $\tfrac{3\pi}{2}$ — isso é $\tfrac{\pi}{2} + \pi$.
- Então a solução completa é $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ para todo inteiro $k$.
To solve a trig equation, use the inverse for a first angle, then the graph's symmetry and the period to list every solution — often infinitely many. Check the target is within the function's range first (sine and cosine cannot exceed $1$). Inequalities give repeating intervals.
Para resolver uma equação trigonométrica, use a inversa para um primeiro ângulo, depois a simetria do gráfico e o período para listar todas as soluções — muitas vezes infinitas. Verifique se o alvo está dentro do intervalo da função primeiro (seno e cosseno não podem ultrapassar $1$). Desigualdades fornecem intervalos repetitivos.