Inverse Trigonometric Functions · Funções Trigonométricas Inversas
| English | Português |
|---|---|
| sine/saɪn/ | seno |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverso |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | um-para-um |
| domain/dəˈmeɪn/ | domínio |
From a ratio back to an angle
- Sine turns an angle into a ratio; sometimes we need to run that backward.
- "Which angle has a sine of $0.5$?" is a question only an inverse can answer.
- Ramps, satellite dishes, and navigation all need the angle from a measured ratio.
- The inverse trig functions do exactly this reversal.
De uma razão de volta a um ângulo
- Seno transforma um ângulo em uma razão; às vezes precisamos inverter isso.
- "Qual ângulo tem um seno de $0.5$?" é uma pergunta que só uma inversa pode responder.
- Rampas, antenas parabólicas e navegação precisam do ângulo a partir de uma razão medida.
- As funções trigonométricas inversas fazem exatamente essa reversão.
What the inverse does
- The inverse 反函数 of sine, written $\arcsin$ or $\sin^{-1}$, takes a value and returns an angle.
- $\arcsin(0.5) = 30°$, because $\sin 30° = 0.5$.
- Likewise $\arccos$ and $\arctan$ reverse cosine and tangent.
- Each undoes its trig function, recovering the angle that produced a value.
O que a inversa faz
- A inversa 反函数 de seno, escrita $\arcsin$ ou $\sin^{-1}$, pega um valor e devolve um ângulo.
- $\arcsin(0.5) = 30°$, porque $\sin 30° = 0.5$.
- Da mesma forma $\arccos$ e $\arctan$ invertem cosseno e tangente.
- Cada uma desfaz sua função trigonométrica, recuperando o ângulo que produziu um valor.
The inverse function $\arcsin$ (or $\sin^{-1}$) takes a value and returns… · A função inversa $\arcsin$ (ou $\sin^{-1}$) toma um valor e retorna…
The · A inverse · inverso of sine reverses it: $\arcsin(0.5)$ is the angle whose sine is $0.5$, namely $30°$. · A inversa do seno inverte-o: $\arcsin(0.5)$ é o ângulo cujo seno é $0.5$, ou seja, $30°$.
Why we must restrict
- Sine is not one-to-one 一一对应: countless angles share the same sine value.
- If we reversed all of them, the "inverse" would give many answers at once — not a function.
- So we restrict the domain to one rising piece, from $-\tfrac{\pi}{2}$ to $\tfrac{\pi}{2}$.
- On that restricted domain 定义域, each output comes from exactly one angle.
Por que devemos restringir
- Seno não é one-to-one 一一对应: incontáveis ângulos compartilham o mesmo valor de seno.
- Se invertêssemos todos eles, a "inversa" daria muitas respostas de uma vez — não seria uma função.
- Então nós restringimos o domínio a um trecho crescente, de $-\tfrac{\pi}{2}$ a $\tfrac{\pi}{2}$.
- Nesse domínio 定义域 restrito, cada saída vem de exatamente um ângulo.
From a ratio back to an angle · De uma razão de volta a um ângulo
An inverse trig function answers the reverse question — given the sine or cosine value, which angle produced it? · Uma função trigonométrica inversa responde à pergunta reversa — dado o valor do seno ou cosseno, qual ângulo o produziu?
Why must sine be restricted before it can have an inverse function? · Por que o seno deve ser restringido antes de poder ter uma função inversa?
Many angles share the same sine, so sine is not one-to-one. Restricting its domain fixes a single output per input. · Muitos ângulos compartilham o mesmo seno, portanto o seno não é injeto. Restringir seu domínio corrige para uma única saída por entrada.
What is $\arcsin(1)$ (in radians)? · Qual é $\arcsin(1)$ (em radianos)?
$\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$, so $\arcsin(1) = \tfrac{\pi}{2}$ — the angle in the restricted range. · $\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$, logo $\arcsin(1) = \tfrac{\pi}{2}$ — o ângulo no intervalo restringido.
Select all · todos true statements about inverse trig functions. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre funções trigonométricas inversas.
An inverse returns just one · um angle (in the restricted range), not all of them. The other three are correct. · Uma inversa retorna apenas um ângulo (no intervalo restringido), não todos eles. As outras três estão corretas.
The inverse graphs
- Because they are inverses, the graphs reflect the restricted trig graphs across $y = x$.
- $\arcsin$ has domain $[-1, 1]$ (all valid sine 正弦 values) and range $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$.
- $\arccos$ has the same domain but range $[0, \pi]$.
- Their inputs are ratios; their outputs are angles.
Os gráficos das inversas
- Por serem inversas, os gráficos refletem os gráficos trigonométricos restritos através de $y = x$.
- $\arcsin$ tem domínio $[-1, 1]$ (todos os valores seno 正弦 válidos) e imagem $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$.
- $\arccos$ tem o mesmo domínio, mas intervalo $[0, \pi]$.
- Suas entradas são razões; suas saídas são ângulos.
The graph of an inverse trig function is the restricted trig graph reflected across $y = x$. · O gráfico de uma função trigonométrica inversa é o gráfico trigonometrico restrito refletido através de $y = x$.
As with any inverse, swapping input and output mirrors the graph across the line $y = x$. · Assim como com qualquer inversa, trocar entrada e saída espelha o gráfico pela linha $y = x$.
Reading a value
- To find $\arccos(0)$, ask "which angle in $[0,\pi]$ has cosine $0$?" — the answer is $\tfrac{\pi}{2}$.
- The inverse returns the one angle inside the restricted range, called the principal value.
- Other angles may also work, but the inverse function reports just one.
- Add full turns or use symmetry if you need the rest.
Lendo um valor
- Para encontrar $\arccos(0)$, pergunte "qual ângulo em $[0,\pi]$ tem cosseno $0$?" — a resposta é $\tfrac{\pi}{2}$.
- A inversa devolve o único ângulo dentro do intervalo restrito, chamado valor principal.
- Outros ângulos também podem funcionar, mas a função inversa reporta apenas um.
- Adicione voltas completas ou use simetria se precisar dos demais.
The inverse gives only the principal angle, not every solution. $\arcsin(0.5) = 30°$, but $150°$ also has sine $0.5$. When solving an equation you must find all the angles yourself — the inverse hands you just one.
A inversa dá apenas o ângulo principal, não todas as soluções. $\arcsin(0.5) = 30°$, mas $150°$ também tem seno $0.5$. Ao resolver uma equação, você deve encontrar todos os ângulos sozinho — a inversa entrega apenas um.
A ramp rises $3$ m over a slope length of $6$ m. What angle does it make?
- The sine of the angle is $\tfrac{\text{rise}}{\text{slope}} = \tfrac{3}{6} = 0.5$.
- So the angle is $\arcsin(0.5) = 30°$.
- The inverse turned the measured ratio back into the angle we wanted.
Uma rampa sobe $3$ m sobre um comprimento de inclinação de $6$ m. Que ângulo ela forma?
- O seno do ângulo é $\tfrac{\text{rise}}{\text{slope}} = \tfrac{3}{6} = 0.5$.
- Então o ângulo é $\arcsin(0.5) = 30°$.
- A inversa converte a razão medida de volta no ângulo que desejávamos.
An inverse trig function returns an angle from a ratio: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. Since trig functions are not one-to-one, we restrict their domain first. The inverse graphs reflect the restricted sine/cosine/tangent across $y = x$, and report just the principal angle.
Uma função trigonométrica inversa retorna um ângulo a partir de uma razão: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. Como as funções trigonométricas não são bijetoras, restringimos primeiro seu domínio. Os gráficos inversos refletem o seno/cosseno/tangente restritos em relação à reta $y = x$ e reportam apenas o ângulo principal.