The Tangent Function · A Função Tangente
| English | Português |
|---|---|
| tangent/ˈtændʒənt/ | tangente |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | assíntota vertical |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
A wave that breaks
- Sine and cosine roll along smoothly, forever bounded between $-1$ and $1$.
- The tangent function is wilder: it shoots up to infinity, then restarts.
- Its graph is a chain of separate branches, each broken by an invisible wall.
- Understanding why it breaks reveals how it is built from sine and cosine.
Uma onda que quebra
- Seno e cosseno rodam suavemente, limitados eternamente entre $-1$ e $1$.
- A função tangente é mais selvagem: ela dispara até o infinito, depois reinicia.
- Seu gráfico é uma cadeia de ramos separados, cada um quebrado por uma parede invisível.
- Entender por que ela quebra revela como é construída a partir de seno e cosseno.
Tangent is a ratio
- The tangent 正切 is defined as $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
- On the unit circle it is the slope of the line from the origin to the point.
- Where sine is $0$, tangent is $0$ (the branches cross the axis).
- Where cosine is $0$, the ratio divides by zero — and that is where it breaks.
Tangente é uma razão
- A tangente 正切 é definida como $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
- No círculo unitário, é a inclinação da linha da origem até o ponto.
- Onde o seno é $0$, a tangente é $0$ (os ramos cruzam o eixo).
- Onde o cosseno é $0$, a razão divide por zero — e é ali que ela quebra.
The tangent function equals… · A função tangente é igual a…
By definition, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ — sine over cosine. · Por definição, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ — seno sobre cosseno.
What is $\tan 0$? · O que é $\tan 0$?
$\tan 0 = \dfrac{\sin 0}{\cos 0} = \dfrac{0}{1} = 0$.
Asymptotes where cosine vanishes
- A vertical asymptote 竖直渐近线 appears wherever $\cos x = 0$.
- That happens at $x = \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2}, \dots$ — every half-turn.
- Approaching an asymptote, the output races off to $+\infty$ or $-\infty$.
- The graph never crosses these walls; it just climbs steeply beside them.
Assíntotas onde o cosseno desaparece
- Uma assíntota vertical 竖直渐近线 aparece sempre que $\cos x = 0$.
- Isso acontece em $x = \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2}, \dots$ — a cada meia volta.
- Ao se aproximar de uma assíntota, a saída corre para $+\infty$ ou $-\infty$.
- O gráfico nunca cruza essas paredes; ele apenas sobe íngreme ao lado delas.
Tangent as a slope that runs away · Tangente como uma inclinação que se afasta
On the unit circle, tangent is the slope of the radius line. As the angle nears 90 degrees, that slope shoots toward infinity. · No círculo unitário, a tangente é a inclinação da linha do raio. À medida que o ângulo se aproxima de 90 graus, essa inclinação tende ao infinito.
The tangent function has a vertical asymptote wherever… · A função tangente possui uma assíntota vertical sempre que…
Where · Onde $\cos x = 0$, the fraction $\tfrac{\sin x}{\cos x}$ divides by zero — a vertical asymptote. · Onde $\cos x = 0$, a fração $\tfrac{\sin x}{\cos x}$ divide por zero — uma assíntota vertical.
Select all · todos true statements about $y = \tan x$. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre $y = \tan x$.
Unlike sine and cosine, tangent is unbounded — it shoots to $\pm\infty$. The other three are correct. · Diferente do seno e do cosseno, a tangente é ilimitada — ela tende a $\pm\infty$. As outras três estão corretas.
A shorter period
- Sine and cosine repeat every $2\pi$, but the period 周期 of tangent is just $\pi$.
- So tangent completes a full cycle twice as often.
- Within each period it climbs steadily from $-\infty$ up to $+\infty$.
- One branch spans from one asymptote to the next.
Um período menor
- Seno e cosseno se repetem a cada $2\pi$, mas o período 周期 da tangente é apenas $\pi$.
- Então a tangente completa um ciclo completo duas vezes mais rápido.
- Dentro de cada período, ela sobe consistentemente de $-\infty$ até $+\infty$.
- Um ramo abrange de uma assíntota até a próxima.
Unlike sine and cosine, the tangent function has period ____ (not $2\pi$). · Diferente do seno e do cosseno, a função tangente tem período ____ (não $2\pi$).
Tangent repeats every $\pi$ — twice as often as sine or cosine. · A tangente repete-se a cada $\pi$ — duas vezes mais frequentemente que o seno ou o cosseno.
Unbounded output
- Unlike sine and cosine, tangent has no maximum or minimum.
- Its range is all real numbers — it reaches every height.
- Near an asymptote it grows without limit; at the middle of a branch it is $0$.
- This unbounded, repeating shape models steepness and angles of elevation.
Saída ilimitada
- Diferente de seno e cosseno, a tangente não tem máximo nem mínimo.
- Seu intervalo é todos os números reais — ela atinge toda altura.
- Perto de uma assíntota, ela cresce sem limite; no meio de um ramo, é $0$.
- Esta forma ilimitada e repetitiva modela declividade e ângulos de elevação.
Tangent is undefined at its asymptotes — $\tan\tfrac{\pi}{2}$ has no value, because $\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$ and you cannot divide by zero. Do not try to plug those angles in; the function simply does not exist there.
A tangente é indeterminada nas suas assíntotas — $\tan\tfrac{\pi}{2}$ não tem valor, porque $\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$ e você não pode dividir por zero. Não tente inserir esses ângulos; a função simplesmente não existe lá.
Find $\tan\tfrac{\pi}{4}$ and explain why $\tan\tfrac{\pi}{2}$ is undefined.
- $\tan\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = \dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = 1$.
- $\tan\tfrac{\pi}{2} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)} = \dfrac{1}{0}$, which is undefined.
- So $x = \tfrac{\pi}{2}$ is a vertical asymptote, not a point on the graph.
Encontre $\tan\tfrac{\pi}{4}$ e explique por que $\tan\tfrac{\pi}{2}$ é indefinido.
- $\tan\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = \dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = 1$.
- $\tan\tfrac{\pi}{2} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)} = \dfrac{1}{0}$, que é indeterminada.
- Então $x = \tfrac{\pi}{2}$ é uma assíntota vertical, não um ponto no gráfico.
The tangent function is $\tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x}$. It has a vertical asymptote wherever $\cos x = 0$, a period of $\pi$ (not $2\pi$), and an unbounded range — each branch climbs from $-\infty$ to $+\infty$ and repeats.
A função tangente 正切 é $\tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x}$. Ela tem uma assíntota vertical sempre que $\cos x = 0$, um período de $\pi$ (não $2\pi$), e um intervalo ilimitado — cada ramo sobe de $-\infty$ para $+\infty$ e se repete.