Sinusoidal Functions · Funções Senoidais
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|---|---|
| sinusoidal function/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈfʌŋkʃn/ | função senoidal |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitude |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | linha média |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
| phase shift/feɪz ʃɪft/ | deslocamento de fase |
One wave, four dials
- The parent sine wave is fixed, but real waves come in every size and speed.
- Four numbers let you reshape it: taller or shorter, faster or slower, shifted up or sideways.
- Master those four and you can match any smooth periodic curve.
- This flexible family is called the sinusoidal functions.
Uma onda, quatro controles
- A onda seno parental é fixa, mas ondas reais vêm em todos os tamanhos e velocidades.
- Quatro números permitem remodelá-la: mais alta ou mais baixa, mais rápida ou mais lenta, deslocada para cima ou lateralmente.
- Domine esses quatro e você poderá correspondar a qualquer curva periódica suave.
- Essa família flexível é chamada de funções sinusoidais.
The general form
- A sinusoidal function 正弦型函数 is $y = a\sin(b(x - c)) + d$.
- The amplitude 振幅 is $|a|$ — how far the wave rises above and below its centre.
- The midline 中线 is $y = d$ — the horizontal line the wave oscillates around.
- Cosine fits the same template; the two are interchangeable with a shift.
A forma geral
- Uma função sinusoidal 正弦型函数 é $y = a\sin(b(x - c)) + d$.
- A amplitude 振幅 é $|a|$ — quão longe a onda sobe acima e desce abaixo de seu centro.
- A linha média 中线 é $y = d$ — a linha horizontal em torno da qual a onda oscila.
- O cosseno se encaixa no mesmo modelo; os dois são intercambiáveis com um deslocamento.
In $y = a\sin(b(x - c)) + d$, the amplitude is… · Em $y = a\sin(b(x - c)) + d$, a amplitude é…
The coefficient $a$ stretches the wave vertically, so the amplitude is $|a|$. · O coeficiente $a$ estica a onda verticalmente, então a amplitude é $|a|$.
In $y = a\sin(b(x - c)) + d$, the midline is the line $y =$ ____. · Em $y = a\sin(b(x - c)) + d$, a linha média é a linha $y =$ ____.
Adding $d$ shifts the whole wave up, so the midline sits at $y = d$. · Adicionar $d$ desloca toda a onda para cima, então a linha média fica em $y = d$.
Amplitude and midline
- Change $a$ to stretch the wave taller or squash it flatter (or flip it if $a < 0$).
- Change $d$ to slide the whole wave up or down to a new midline.
- The maximum is $d + |a|$ and the minimum is $d - |a|$.
- So $a$ and $d$ together fix the top and bottom of the wave.
Amplitude e linha central
- Mude $a$ para alongar a onda verticalmente ou achatá-la (ou invertê-la se $a < 0$).
- Mude $d$ para deslizar toda a onda para cima ou para baixo até uma nova linha central.
- O máximo é $d + |a|$ e o mínimo é $d - |a|$.
- Então $a$ e $d$ juntos fixam o topo e a base da onda.
Reshape a sinusoid with four controls · Redimensione uma senóide com quatro controles
y = a·sin(b(x − c)) + d
a sets the amplitude, b sets the period, c shifts it sideways, and d sets the midline. Change each and watch. · a define a amplitude, b define o período, c desloca lateralmente, e d define a linha média. Mude cada um e observe.
The · A period · período of $y = a\sin(b x) + d$ is… · O período de $y = a\sin(b x) + d$ é…
The factor $b$ compresses the wave horizontally, so the period · período shrinks to $\dfrac{2\pi}{b}$. · O fator $b$ comprime a onda horizontalmente, então o período diminui para $\dfrac{2\pi}{b}$.
What is the period of $y = \sin(2x)$? (Use $\pi \approx 3.14$.) · Qual é o período de $y = \sin(2x)$? (Use $\pi \approx 3.14$.)
Period · Período $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14$ — doubling $b$ halves the period. · Período $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14$ — dobrar $b$ reduz o período pela metade.
Period from b
- The number $b$ controls how quickly the wave cycles.
- The period 周期 is $\dfrac{2\pi}{b}$ — a bigger $b$ packs cycles closer together.
- So $y = \sin(2x)$ repeats twice as fast, with period $\pi$.
- Frequency (cycles per unit) is the reciprocal of the period.
Período a partir de b
- O número $b$ controla quão rapidamente a onda cicla.
- O período 周期 é $\dfrac{2\pi}{b}$ — um $b$ maior empacota ciclos mais próximos uns dos outros.
- Então $y = \sin(2x)$ repete duas vezes mais rápido, com período $\pi$.
- Frequência (ciclos por unidade) é o inverso do período.
In $y = a\sin(b(x - c)) + d$, match each role. Select all · todos correct. · Em $y = a\sin(b(x - c)) + d$, corresponda cada papel. Selecione todas as corretas.
$b$ controls the period, not the amplitude. A phase shift of $c$ slides the wave sideways. The other three are correct. · $b$ controla o período, não a amplitude. Um desfase de $c$ desloca a onda lateralmente. As outras três estão corretas.
Phase shift from c
- The value $c$ slides the wave left or right — a phase shift 相位平移.
- Inside the function, $(x - c)$ moves the graph right by $c$ (the usual backwards rule).
- A phase shift lets a sine model line up with data that peaks at a chosen time.
- Together $a, b, c, d$ pin down any sinusoid exactly.
Deslocamento de fase a partir de c
- O valor $c$ desliza a onda para a esquerda ou direita — um deslocamento de fase 相位平移.
- Dentro da função, $(x - c)$ move o gráfico para a direita em $c$ (a regra comum de reversão).
- Um deslocamento de fase permite que um modelo de seno se alinhe com dados que atingem o pico em um momento escolhido.
- Juntos $a, b, c, d$ definem exatamente qualquer senóide.
Remember $b$ sets the period, not the amplitude, and it works inversely: a larger $b$ gives a shorter period. And the shift $(x - c)$ moves the graph right, not left — the inside-the-function reversal trips many students.
Lembre-se: $b$ define o período, não a amplitude, e funciona ao inverso: um $b$ maior resulta em um período menor. E o deslocamento $(x - c)$ move o gráfico para a direita, não para a esquerda — a inversão dentro da função engana muitos alunos.
Describe $y = 3\sin(2x) + 5$.
- Amplitude $|a| = 3$; midline $y = 5$; so it swings between $2$ and $8$.
- Period $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ — one cycle every $\pi$ units.
- No phase shift ($c = 0$), so it starts a cycle at $x = 0$ on the midline, rising.
Descreva $y = 3\sin(2x) + 5$.
- Amplitude $|a| = 3$; linha central $y = 5$; então ela oscila entre $2$ e $8$.
- Período $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ — um ciclo a cada $\pi$ unidades.
- Sem deslocamento de fase ($c = 0$), então começa um ciclo em $x = 0$ na linha central, subindo.
A sinusoidal function $y = a\sin(b(x-c)) + d$ has amplitude $|a|$, midline $y = d$, period $\dfrac{2\pi}{b}$, and a phase shift of $c$. These four numbers reshape the parent wave to fit any smooth periodic pattern.
Uma função sinusoidal $y = a\sin(b(x-c)) + d$ tem amplitude $|a|$, linha média $y = d$, período $\dfrac{2\pi}{b}$, e um deslocamento de fase de $c$. Esses quatro números remodelam a onda parental para se ajustar a qualquer padrão periódico suave.