Transformations of Sinusoidal Functions · Transformações de Funções Senoidais
| English | Português |
|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitude |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | linha média |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
| phase shift/feɪz ʃɪft/ | deslocamento de fase |
| sinusoidal function/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈfʌŋkʃn/ | função senoidal |
Bending the parent wave
- The parent $\sin x$ is fixed, but real waves are taller, faster, and shifted.
- Four transformations reshape it into any sinusoid you need.
- Two act vertically (on the output), two act horizontally (on the input).
- Learn what each dial does, and you can graph or write any wave.
Doblando a onda parental
- A parental $\sin x$ é fixa, mas ondas reais são mais altas, mais rápidas e deslocadas.
- Quatro transformações a remodelam em qualquer senóide que você precise.
- Duas atuam verticalmente (na saída), duas atuam horizontalmente (na entrada).
- Aprenda o que cada controle faz, e você poderá grafar ou escrever qualquer onda.
Vertical changes
- Multiplying by $a$ stretches the wave vertically: the amplitude 振幅 becomes $|a|$.
- A negative $a$ also flips the wave upside down.
- Adding $d$ raises or lowers the whole wave, setting the midline 中线 to $y = d$.
- Together these fix the peak ($d + |a|$) and trough ($d - |a|$).
Mudanças verticais
- Multiplicar por $a$ alonga a onda verticalmente: a amplitude 振幅 torna-se $|a|$.
- Um $a$ negativo também inverte a onda de cabeça para baixo.
- Adicionar $d$ eleva ou abaixa toda a onda, definindo a linha central 中线 como $y = d$.
- Juntas, estas fixam o pico ($d + |a|$) e o vale ($d - |a|$).
Increasing $|a|$ in $y = a\sin(bx) + d$ makes the wave… · Aumentar $|a|$ em $y = a\sin(bx) + d$ faz com que a onda…
$|a|$ is the amplitude, so a larger $|a|$ stretches the wave taller. · $|a|$ é a amplitude, então um $|a|$ maior estica a onda verticalmente.
Increasing $d$ in $y = a\sin(bx) + d$ … · Aumentar $d$ em $y = a\sin(bx) + d$ …
$d$ is the midline level, so adding to it lifts the whole wave up. · $d$ é o nível da linha média, então somar a ela eleva toda a onda para cima.
Horizontal changes
- The factor $b$ squeezes the wave horizontally: the period 周期 becomes $\tfrac{2\pi}{b}$.
- A bigger $b$ means faster cycling — more waves in the same space.
- The constant $c$ produces a phase shift 相位平移, sliding the wave left or right.
- As always, $(x - c)$ moves the graph right by $c$.
Alterações horizontais
- O fator $b$ comprime a onda horizontalmente: o período 周期 torna-se $\tfrac{2\pi}{b}$.
- Um $b$ maior significa ciclagem mais rápida — mais ondas no mesmo espaço.
- A constante $c$ produz um deslocamento de fase 相位平移, deslizando a onda para a esquerda ou direita.
- Como sempre, $(x - c)$ move o gráfico para a direita em $c$.
Stretch, shift, and lift a sine wave · Estique, desloque e eleve uma onda senoidal
y = a·sin(b(x − c)) + d
Grow a to raise the amplitude, grow b to shorten the period, change c to slide sideways, and change d to raise the midline. · Aumente a para aumentar a amplitude, aumente b para encurtar o período, altere c para deslizar lateralmente e altere d para elevar a linha média.
For · A favor $y = \sin(3x)$, what is the period? (Use $\pi \approx 3.14$; give the value of $2\pi/3$.) · Para $y = \sin(3x)$, qual é o período? (Use $\pi \approx 3.14$; dê o valor de $2\pi/3$.)
Period · Período $= \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.09$ — tripling $b$ shrinks the period to a third. · Período $= \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.09$ — triplicar $b$ reduz o período a um terço.
The constant $c$ inside $\sin(b(x - c))$ produces a horizontal ____ shift. · A constante $c$ dentro de $\sin(b(x - c))$ produz um deslocamento horizontal ____.
A phase shift slides the wave left or right without changing its shape. · Um desfase desloca a onda para a esquerda ou direita sem alterar seu formato.
Combining all four
- A full sinusoidal function 正弦型函数 uses all four at once: $y = a\sin(b(x-c)) + d$.
- Apply them in a sensible order: stretch, then shift.
- Each parameter acts independently, so you can read them off one at a time.
- The same four transform a cosine identically.
Combinando as quatro
- Uma função senoidal 正弦型函数 usa as quatro ao mesmo tempo: $y = a\sin(b(x-c)) + d$.
- Aplique-as em uma ordem lógica: estire, depois desloque.
- Cada parâmetro age independentemente, então você pode lê-los um por um.
- As mesmas quatro transformam o cosseno da mesma forma.
Match each parameter of $y = a\sin(b(x-c)) + d$. Select all · todos correct. · Relacione cada parâmetro de $y = a\sin(b(x-c)) + d$. Selecione todas as opções corretas.
$c$ controls the phase shift, not amplitude. The other three are correct. · $c$ controla o desfase, não a amplitude. As outras três estão corretas.
Reading a transform from a graph
- Measure the midline: average the highest and lowest points → that is $d$.
- Measure the amplitude: half the distance from peak to trough → that is $|a|$.
- Measure the period: the horizontal length of one cycle → gives $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- Find where a cycle "starts" to read the phase shift $c$.
Lendo uma transformação num gráfico
- Meça a linha média: faça a média dos pontos mais altos e mais baixos → esse é $d$.
- Meça a amplitude: metade da distância do pico ao vale → esse é $|a|$.
- Meça o período: o comprimento horizontal de um ciclo completo → isso dá $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- Encontre onde um ciclo "começa" para ler o deslocamento de fase $c$.
Amplitude and midline come from outside the sine (they scale and lift the output); period and phase shift come from inside (they act on the input). Mixing up inside and outside — especially the backwards horizontal shift — is the classic sinusoid error.
A amplitude e a linha média vêm de fora do seno (elas escalam e levantam a saída); o período e o deslocamento de fase vêm de dentro (elas atuam sobre a entrada). Misturar dentro e fora — especialmente o deslocamento horizontal inverso — é o erro clássico da senóide.
Describe the transformations in $y = 4\sin\!\big(2(x - 1)\big) + 3$.
- Amplitude $|a| = 4$; midline $y = 3$; so it swings between $-1$ and $7$.
- Period $= \tfrac{2\pi}{2} = \pi$.
- Phase shift: right by $1$ (from the $x - 1$ inside).
Descreva as transformações em $y = 4\sin\!\big(2(x - 1)\big) + 3$.
- Amplitude $|a| = 4$; linha central $y = 3$; então ela oscila entre $-1$ e $7$.
- Período $= \tfrac{2\pi}{2} = \pi$.
- Deslocamento de fase: para a direita em $1$ (do $x - 1$ dentro).
Transform the parent sine with four dials: $a$ sets the amplitude, $d$ the midline, $b$ the period ($\tfrac{2\pi}{b}$), and $c$ the phase shift. Outside-the-sine values act vertically; inside values act horizontally and run backwards.
Transforme a seno original com quatro controles: $a$ define a amplitude, $d$ a linha média, $b$ o período ($\tfrac{2\pi}{b}$), e $c$ o deslocamento de fase. Valores fora do seno atuam verticalmente; valores dentro atuam horizontalmente e funcionam ao contrário.