Graphs of Sine and Cosine · Gráficos de Seno e Cosseno
| English | Português |
|---|---|
| sine/saɪn/ | seno |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | cosseno |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitude |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | linha média |
Unrolling the circle into a wave
- Imagine the point spinning around the unit circle, and track just its height over time.
- Plot that height against the angle, and a smooth wave appears.
- That wave is the graph of sine — the circle unrolled.
- Cosine is the same idea, tracking the horizontal coordinate instead.
Desenrolando o círculo em uma onda
- Imagine o ponto girando ao redor da circunferência unitária e rastreie apenas sua altura ao longo do tempo.
- Plote essa altura contra o ângulo, e uma onda suave aparecerá.
- Essa onda é o gráfico do seno — o círculo desenrolado.
- O cosseno é a mesma ideia, rastreando a coordenada horizontal em vez disso.
The sine graph
- The sine 正弦 graph $y = \sin x$ starts at $0$, rises to $1$, falls through $0$ to $-1$, then returns.
- One full cycle takes $2\pi$ before the pattern repeats.
- It swings a fixed distance above and below the horizontal axis.
- The result is the classic smooth, rolling wave.
O gráfico do seno
- O gráfico do seno 正弦 $y = \sin x$ começa em $0$, sobe para $1$, cai através de $0$ para $-1$, então retorna.
- Um ciclo completo leva $2\pi$ antes que o padrão se repita.
- Ele oscila uma distância fixa acima e abaixo do eixo horizontal.
- O resultado é a clássica onda suave e ondulante.
Trace the sine wave · Rastreie a onda senoidal
y = a·sin(b(x − c)) + d
This is the parent sine wave — amplitude 1, midline y = 0, and period 2π. Watch it repeat. · Esta é a onda pai — amplitude 1, linha média y = 0, e período 2π. Observe-a repetindo.
The parent sine graph $y = \sin x$ starts (at $x = 0$) at height… · O gráfico pai do seno $y = \sin x$ começa (em $x = 0$) na altura…
Since $\sin 0 = 0$, the sine wave begins at the midline and rises to its peak of $1$. · Como $\sin 0 = 0$, a onda senoidal começa na linha média e sobe até seu pico de $1$.
The cosine graph
- The cosine 余弦 graph $y = \cos x$ has the exact same shape.
- But it starts at its peak $1$ (since $\cos 0 = 1$), a quarter-period ahead of sine.
- In fact, $\cos x = \sin\!\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)$ — cosine is sine shifted left.
- So learning one wave essentially gives you both.
O gráfico do cosseno
- O gráfico cosseno 余弦 $y = \cos x$ tem exatamente a mesma forma.
- Mas ele começa em seu pico $1$ (pois $\cos 0 = 1$), um quarto de período à frente do seno.
- Na verdade, $\cos x = \sin\!\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)$ — o cosseno é o seno deslocado para a esquerda.
- Então aprender uma onda essencialmente te dá ambas.
The parent cosine graph $y = \cos x$ starts (at $x = 0$) at height… · O gráfico pai do cosseno $y = \cos x$ começa (em $x = 0$) na altura…
Since $\cos 0 = 1$, cosine starts at its maximum — a quarter-period ahead of sine. · Como $\cos 0 = 1$, o cosseno começa em seu máximo — um quarto de período à frente do seno.
Select all · todos true statements about $y = \sin x$ and · e $y = \cos x$. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre $y = \sin x$ e $y = \cos x$.
They oscillate, never increasing forever. The other three are correct. · Oscilam, nunca aumentando para sempre. As outras três estão corretas.
Amplitude, midline, and period
- The parent waves have amplitude 振幅 $1$: they rise $1$ above and dip $1$ below.
- Their midline 中线 is $y = 0$, the level they oscillate around.
- Their period 周期 is $2\pi$, the horizontal length of one cycle.
- Every other sine-shaped graph is one of these, stretched or shifted.
Amplitude, linha central e período
- As ondas parentais têm amplitude 振幅 $1$: elas sobem $1$ acima e mergulham $1$ abaixo.
- Sua linha central 中线 é $y = 0$, o nível em torno do qual oscilam.
- Seu período 周期 é $2\pi$, o comprimento horizontal de um ciclo.
- Todo outro gráfico em forma de seno é um desses, esticado ou deslocado.
The parent sine and cosine graphs each have a period of ____ radians. · Os gráficos pais do seno e cosseno têm cada um um período de ____ radianos.
One full cycle spans $2\pi$ before the wave repeats — the period · período of the parent functions. · Um ciclo completo abrange $2\pi$ antes que a onda se repita — o período das funções pais.
The parent sine and cosine graphs have amplitude $1$ and midline $y = 0$. · Os gráficos pais do seno e cosseno têm amplitude $1$ e linha média $y = 0$.
They swing between $-1$ and · e $1$: amplitude $1$ above/below the midline $y = 0$. · Oscilam entre $-1$ e $1$: amplitude $1$ acima/abaixo da linha média $y = 0$.
Reading the wave
- To sketch a cycle, mark five key points: start, peak, middle, trough, end.
- For sine those heights are $0, 1, 0, -1, 0$ across one period.
- For cosine they are $1, 0, -1, 0, 1$.
- Join them with a smooth curve and repeat left and right forever.
Lendo a onda
- Para esboçar um ciclo, marque cinco pontos-chave: início, pico, meio, vale, fim.
- Para o seno, essas alturas são $0, 1, 0, -1, 0$ ao longo de um período.
- Para o cosseno, elas são $1, 0, -1, 0, 1$.
- Junte-os com uma curva suave e repita para a esquerda e direita para sempre.
Sine and cosine graphs never stop or level off — they oscillate forever between $-1$ and $1$. Do not draw them flattening toward an asymptote; unlike exponentials and logs, they simply keep waving.
Os gráficos do seno e do cosseno nunca param nem nivelam — eles oscilam para sempre entre $-1$ e $1$. Não os desenhe aplanando-se em direção a uma assintota; diferentemente de exponenciais e logaritmos, eles simplesmente continuam oscilando.
Where does $y = \sin x$ first reach its maximum, and its minimum?
- Maximum $1$ occurs at $x = \tfrac{\pi}{2}$ (a quarter of the way through a cycle).
- Minimum $-1$ occurs at $x = \tfrac{3\pi}{2}$ (three-quarters through).
- Both repeat every $2\pi$ thereafter.
Onde $y = \sin x$ atinge seu máximo pela primeira vez e seu mínimo?
- Máximo $1$ ocorre em $x = \tfrac{\pi}{2}$ (um quarto do caminho por um ciclo).
- Mínimo $-1$ ocorre em $x = \tfrac{3\pi}{2}$ (três quartos do caminho).
- Ambos se repetem a cada $2\pi$ a partir daí.
The sine and cosine graphs are the unit circle unrolled: smooth waves with amplitude $1$, midline $y = 0$, and period $2\pi$. They are identical in shape, offset by a quarter period, so $\cos x = \sin(x + \tfrac{\pi}{2})$.
Os gráficos de seno e cosseno são a circunferência unitária desenrolada: ondas suaves com amplitude $1$, linha central $y = 0$, e período $2\pi$. Eles são idênticos em forma, defasados por um quarto de período, então $\cos x = \sin(x + \tfrac{\pi}{2})$.