Sine and Cosine Function Values · Valores das Funções Seno e Cosseno
| English | Português |
|---|---|
| sine/saɪn/ | seno |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | cosseno |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | círculo unitário |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radianos |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
Values you can read off a circle
- Every angle has a sine and a cosine — but where do the numbers come from?
- They are just coordinates on the unit circle, read straight off.
- A handful of "special" angles give clean, memorable values.
- Learn those, and the symmetry of the circle hands you the rest.
Valores que você pode ler diretamente de um círculo
- Todo ângulo tem um seno e um cosseno — mas de onde vêm os números?
- Eles são apenas coordenadas na circunferência unitária, lidas diretamente.
- Um punhado de ângulos "especiais" fornece valores limpos e fáceis de memorizar.
- Aprenda esses, e a simetria do círculo te dará o resto.
Special-angle values
- At $\theta = 0$: the point is $(1, 0)$, so $\cos 0 = 1$ and $\sin 0 = 0$.
- At $\theta = \tfrac{\pi}{2}$ ($90°$): the point is $(0, 1)$, so $\cos = 0$, $\sin = 1$.
- The angles $30°, 45°, 60°$ give the familiar values with $\tfrac12$, $\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tfrac{\sqrt3}{2}$.
- Reading a sine 正弦 or cosine 余弦 is just reading a coordinate.
Valores dos ângulos especiais
- Em $\theta = 0$: o ponto é $(1, 0)$, logo $\cos 0 = 1$ e $\sin 0 = 0$.
- Em $\theta = \tfrac{\pi}{2}$ ($90°$): o ponto é $(0, 1)$, então $\cos = 0$, $\sin = 1$.
- Os ângulos $30°, 45°, 60°$ fornecem os valores familiares com $\tfrac12$, $\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tfrac{\sqrt3}{2}$.
- Ler um seno 正弦 ou cosseno 余弦 é apenas ler uma coordenada.
Read sine and cosine at any angle · Leia seno e cosseno em qualquer ângulo
Move the angle and watch the sine (height) and cosine (across) values change and repeat. · Mova o ângulo e observe os valores de seno (altura) e cosseno (horizontal) mudarem e repetirem.
What is $\sin 0$? · O que é $\sin 0$?
At angle $0$, the unit-circle point is $(1, 0)$, so the y-coordinate $\sin 0 = 0$. · No ângulo $0$, o ponto da circunferência unitária é $(1, 0)$, então a coordenada y $\sin 0 = 0$.
What is $\cos 0$? · O que é $\cos 0$?
At angle $0$, the point is $(1, 0)$, so the x-coordinate $\cos 0 = 1$. · No ângulo $0$, o ponto é $(1, 0)$, então a coordenada x $\cos 0 = 1$.
Signs by quadrant
- In the top-right quadrant both coordinates are positive, so sine and cosine are positive.
- Cross into other quadrants and one or both turn negative.
- "All, Sine, Tangent, Cosine" (ASTC) records which are positive, quadrant by quadrant.
- The unit circle 单位圆 makes every sign obvious — just look at the coordinate.
Sinais por quadrante
- No quadrante superior direito, ambas as coordenadas são positivas, logo seno e cosseno são positivos.
- Ao entrar nos outros quadrantes, uma ou ambas tornam-se negativas.
- "Todos, Seno, Tangente, Cosseno" (ASTC) registra quais são positivos, quadrante por quadrante.
- A circunferência unitária 单位圆 torna todos os sinais óbvios — basta olhar para a coordenada.
The output of $\sin\theta$ always lies between… · A saída de $\sin\theta$ sempre fica entre…
On the unit circle the y-coordinate never leaves $[-1, 1]$, so $-1 \le \sin\theta \le 1$. · Na circunferência unitária, a coordenada y nunca sai de $[-1, 1]$, então $-1 \le \sin\theta \le 1$.
Select all · todos true statements about sine and cosine values. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre valores de seno e cosseno.
Sine never reaches $2$ — it is capped at $1$. The other three are correct. · Seno nunca atinge $2$ — ele é limitado a $1$. As outras três estão corretas.
Repeating every full turn
- After one full revolution the point lands exactly where it began.
- So the values repeat every $2\pi$ radians 弧度 (or $360°$).
- That regular repeat is the period 周期 of sine and cosine.
- Adding any multiple of $2\pi$ to an angle leaves its sine and cosine unchanged.
Repetindo a cada volta completa
- Após uma revolução completa, o ponto pousa exatamente onde começou.
- Então os valores se repetem a cada $2\pi$ radianos 弧度 (ou $360°$).
- Essa repetição regular é o período 周期 do seno e do cosseno.
- Adicionar qualquer múltiplo de $2\pi$ a um ângulo deixa seu seno e cosseno inalterados.
Sine and cosine values repeat every ____ radians (one full turn). · Os valores de seno e cosseno se repetem a cada ____ radianos (uma volta completa).
After a full revolution of $2\pi$ (or $360°$), the point returns to where it started, so the values repeat. · Após uma revolução completa de $2\pi$ (ou $360°$), o ponto retorna ao ponto inicial, então os valores se repetem.
Bounded outputs
- Because the circle has radius $1$, no coordinate ever exceeds $1$ or drops below $-1$.
- So both sine and cosine always satisfy $-1 \le \text{value} \le 1$.
- The maximum, $1$, and minimum, $-1$, occur at the top/bottom or left/right of the circle.
- This bound is why sinusoidal waves have a fixed height.
Saídas limitadas
- Como o círculo tem raio $1$, nenhuma coordenada excede $1$ ou cai abaixo de $-1$.
- Logo, tanto o seno quanto o cosseno sempre satisfazem $-1 \le \text{value} \le 1$.
- O máximo, $1$, e o mínimo, $-1$, ocorrem no topo/fundo ou esquerda/direita do círculo.
- Esse limite é por que ondas sinusoidais têm uma altura fixa.
Sine and cosine can never be $2$ or $-5$. Their outputs are locked into $[-1, 1]$ by the unit circle. If a calculation gives $\sin\theta = 1.4$, you have made an error somewhere.
O seno e o cosseno nunca podem ser $2$ ou $-5$. Suas saídas estão presas em $[-1, 1]$ pela circunferência unitária. Se um cálculo der $\sin\theta = 1.4$, você cometeu um erro em algum lugar.
Find $\sin\tfrac{\pi}{2}$, $\cos\pi$, and $\sin 3\pi$.
- $\sin\tfrac{\pi}{2}$: the top of the circle $(0,1)$, so $\sin = 1$.
- $\cos\pi$: the left point $(-1, 0)$, so $\cos = -1$.
- $\sin 3\pi = \sin(\pi + 2\pi) = \sin\pi = 0$ — the extra $2\pi$ changes nothing.
Encontre $\sin\tfrac{\pi}{2}$, $\cos\pi$ e $\sin 3\pi$.
- $\sin\tfrac{\pi}{2}$: o topo do círculo $(0,1)$, logo $\sin = 1$.
- $\cos\pi$: o ponto esquerdo $(-1, 0)$, então $\cos = -1$.
- $\sin 3\pi = \sin(\pi + 2\pi) = \sin\pi = 0$ — o extra $2\pi$ não muda nada.
Sine and cosine values are coordinates on the unit circle. Special angles give clean values, and the quadrant fixes the sign. The values repeat every $2\pi$ radians (the period), and both always stay within $[-1, 1]$.
Seno e cosseno são coordenadas na circunferência unitária. Ângulos especiais fornecem valores limpos, e o quadrante fixa o sinal. Os valores se repetem a cada $2\pi$ radianos (o período), e ambos permanecem sempre dentro de $[-1, 1]$.